2.9.1 双曲函数的定义

双曲正弦、双曲余弦、双曲正切定义如下:

$$\begin{array}{}\text{(2.166)}& \sinh x=\frac{{\mathrm{e}}^x-{\mathrm{e}}^{-x}}{2},\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(2.167)}& \cosh x=\frac{{\mathrm{e}}^x+{\mathrm{e}}^{-x}}{2},\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(2.168)}& \tanh x=\frac{{\mathrm{e}}^x-{\mathrm{e}}^{-x}}{{\mathrm{e}}^x+{\mathrm{e}}^{-x}}.\end{array}$$

几何定义 (参见第 172 页 3.1.2.2) 与三角函数类似.

双曲余切、双曲正割和双曲余割定义成如上相应函数的倒数:

$$\begin{array}{}\text{(2.169)}& \coth x=\frac{1}{\tanh x}=\frac{{\mathrm{e}}^x+{\mathrm{e}}^{-x}}{{\mathrm{e}}^x-{\mathrm{e}}^{-x}},\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(2.170)}& \mathrm{sech}x=\frac{1}{\cosh x}=\frac{2}{{\mathrm{e}}^x+{\mathrm{e}}^{-x}},\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(2.171)}& \mathrm{csch}x=\frac{1}{\sinh x}=\frac{2}{{\mathrm{e}}^x-{\mathrm{e}}^{-x}}.\end{array}$$

双曲函数曲线的形状如图 2.48 $\sim$ 图 2.52 所示.