14.3.4 洛朗展开式

每个在以 $z_0$ 为心,半径分别为 $r_1$ 和 $r_2$ 的两个同心圆周之间的圆环内部解析的函数可以被展开为一个广义幂级数, 所谓的洛朗 (Laurent) 级数:

$$f\left(z\right)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{(z-z_0)}^n$$$$=\cdots +\frac{a_{-k}}{{(z-z_0)}^k}+\frac{a_{-k+1}}{{(z-z_0)}^{k-1}}+\cdots +\frac{a_{-1}}{z-z_0}+a_0+a_1\left(z-z_0\right)$$$$\begin{array}{}\text{(14.50a)}& +a_2{(z-z_0)}^2+\cdots +a_k{(z-z_0)}^k+\cdots .\end{array}$$

诸系数 $a_n$ 通常是复的,它们由公式

$$\begin{array}{}\text{(14.50b)}& a_n=\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}{\oint }_C\frac{f\left(\zeta \right)}{{(\zeta -z_0)}^{n+1}}\mathrm{d}\zeta \left(n=0,\pm 1,\pm 2,\cdots \right)\end{array}$$

唯一确定,其中 $C$ 表示一条任意的闭曲线,它在圆环 $r_1<\left|z\right|<r_2$ 中,并且半径为 $r_1$ 的圆在其内部,其方向是逆时针的 (图 14.43). 如果函数 $f\left(z\right)$ 的定义域 $G$ 大于该圆环,那么其洛朗级数 (Laurent series) 的收敛域是以 $z_0$ 为心,整个包含在 $G$ 中的最大圆环.

在围绕 $z_0=0$ 的圆环 $1<\left|z\right|<2$ 中函数 $f\left(z\right)=\frac{1}{\left(z-1\right)\left(z-2\right)}$ 的洛朗级数展式被确定, $f\left(z\right)$ 在此圆环中是解析的. 首先把 $f\left(z\right)$ 分解为部分分式: $f\left(z\right)=$ $\frac{1}{z-2}-\frac{1}{z-1}$ . 因为在所考虑的区域中成立 $\left|1/z\right|<1$ 和 $\left|z/2\right|<1$ ,因此这个分解的两项都可以被写为在整个圆环 $1<\left|z\right|<2$ 中绝对收敛的几何级数之和. 因此得到

$$f\left(z\right)=\frac{1}{\left(z-1\right)\left(z-2\right)}=-\frac{1}{z\left(1-\frac{1}{z}\right)}-\frac{1}{2\left(1-\frac{z}{2}\right)}=-\underset{\left|z\right|>1}{\underbrace{\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{z^n}}}-\frac{1}{2}\underset{\left|z\right|<2}{\underbrace{\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{z}{2}\right)}^n}}$$$$=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{z}^n\text{,其中 }{a}_n=\{\begin{array}{cc}-1,& n=-1,-2,\cdots ,\\ \frac{-1}{2^{n+1}},& n=0,1,2,\cdots .\end{array}$$