8.2.2 定积分的应用

8.2.2.1 定积分应用的一般原则

(1) 把要确定的量 $A$ 分解成许多很小的量,即分解成无穷小量:

$$\begin{array}{}\text{(8.58)}& A=a_1+a_2+\cdots +a_n.\end{array}$$

(2) 把每个无穷小量 $a_i$ 用量 ${\tilde{a}}_i$ 代替,尽管每个 ${\tilde{a}}_i$ 与 $a_i$ 在数值上相差都很小. 但却可由已知公式来积分,其中误差 ${\alpha }_i=a_i-{\tilde{a}}_i$ 应该是 $a_i$ 和 ${\tilde{a}}_i$ 的高阶无穷小.

(3) 用一个变量 $x$ 和一个函数 $f\left(x\right)$ 来表示 ${\tilde{a}}_i$ ,使得 ${\tilde{a}}_i$ 具有形式 $f\left(x_i\right)\mathrm{\Delta }{x}_i$ .

(4)要求的量为和式的极限:

$$\begin{array}{}\text{(8.59)}& A=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{i=1}^n{\tilde{a}}_i=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{i=1}^{n}f\left(x_i\right)\mathrm{\Delta }{x}_i={\int }_a^{b}f\left(x\right)\mathrm{d}x,\end{array}$$

其中对每个 $i$ ,有 $\mathrm{\Delta }{x}_i\ge 0,x$ 的积分下限和上限分别记为 $a$ 和 $b$ .

$◼$ 计算底面积为 $S$ 和高为 $H$ 的棱锥的体积 $V$ (图 8.11(a)～(c)).

a) 将要求的体积 $V$ 用平面分割成一系列平截头体 (图 8.11(a)): $V=v_1+v_2+$ $\cdots +v_n$ .

b) 用体积为 ${\tilde{v}}_i$ 的棱柱代替相应的平截头体,其高与平截头体相同,底面积等于平截头体上底面的面积 (图 8.11(b)). 它们的体积之差是 $v_i$ 的高阶无穷小.

c) 把体积 ${\tilde{v}}_i$ 表示成 ${\tilde{v}}_i=S_i\mathrm{\Delta }{h}_i$ ,其中 $h_i$ (图 8.11(c)) 为棱锥的顶面与顶点间的距离. 因为 $S_i:S=h_i^2:H^2$ ,故 ${\tilde{v}}_i=\frac{S{h}_i^2}{H^2}\mathrm{\Delta }{h}_i$ .

d) 计算和的极限

$$V=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{i=1}^n{\tilde{v}}_i=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{i=1}^n\frac{S{h}_i^2}{H^2}\mathrm{\Delta }{h}_i={\int }_0^H\frac{S{h}^2}{H^2}\mathrm{d}h=\frac{SH}{3}.$$

8.2.2.2 在几何中应用

1. 平面图形的面积

(1) $\mathbf{B},\mathbf{C}$ 间曲边梯形的面积 (图 8.12(a)) 设曲线由显形式方程 $(y=f\left(x\right)$ , $a\le x\le b)$ 或参数方程 $\left(x=x\left(t\right),y=y\left(t\right),t_1\le t\le t_2\right)$ 给出,则

$$S_{ABCD}={\int }_a^{b}f\left(x\right)\mathrm{d}x={\int }_{t_1}^{t_2}y\left(t\right)x^{\prime }\left(t\right)\mathrm{d}t\left(f\left(x\right)\ge 0;x\left(t_1\right)=a;x\left(t_2\right)=b;y\left(t\right)\ge 0\right).$$

(8.60a)

(2) $\mathbf{G},\mathbf{H}$ 间曲边梯形的面积 (图 8.12(b)) 设曲线由显形式方程 $(x=$ $g\left(y\right),\alpha \le y\le \beta )$ 或参数方程 $\left(x=x\left(t\right),y=y\left(t\right),t_1\le t\le t_2\right)$ 给出,则

$S_{EFGH}={\int }_{\alpha }^{\beta }g\left(y\right)\mathrm{d}y={\int }_{t_1}^{t_2}x\left(t\right)y^{\prime }\left(t\right)\mathrm{d}t\left(g\left(y\right)\ge 0;y\left(t_1\right)=\alpha ;y\left(t_2\right)=\beta ;x\left(t\right)\ge 0\right).$ (8.60b)

(3) 曲边扇形的面积 (图 8.12(c)) 曲边扇形以 $K,L$ 间的曲线为边界,并且由极坐标方程 $\left(\rho =\rho \left(\phi \right),{\phi }_1\le \phi \le {\phi }_2\right)$ 给出,则

$$\begin{array}{}\text{(8.60c)}& S_{OKL}=\frac{1}{2}{\int }_{{\phi }_1}^{{\phi }_2}{\rho }^2\mathrm{d}\phi .\end{array}$$

要求更复杂图形的面积, 可将原图形化为一些简单图形, 或通过线积分 (参见第 684 页 8.3) 或二重积分 (参见第 694 页 8.4.1) 计算.

2. 平面曲线的弧长

(1) 由显形式 $\left(y=f\left(x\right)\text{或}x=g\left(y\right)\right)$ 或参数形式 $\left(x=x\left(t\right),y=y\left(t\right)\right)$ 给出的 $A,B$ 两点间的曲线弧长 (I),可利用如下积分计算:

$$L_{\stackrel{⏜}{AB}}={\int }_a^b\sqrt{1+{\left[f^{\prime }\left(x\right)\right]}^2}\mathrm{d}x={\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{{\left[g^{\prime }\left(y\right)\right]}^2+1}\mathrm{d}y={\int }_{t_1}^{t_2}\sqrt{{\left[x^{\prime }\left(t\right)\right]}^2+{\left[y^{\prime }\left(t\right)\right]}^2}\mathrm{d}t.$$

(8.61a)

由弧微分 $\mathrm{d}l$ ,有

$$\begin{array}{}\text{(8.61b)}& L=\int \mathrm{d}l,\text{ 其中 }\mathrm{d}{l}^2=\mathrm{d}{x}^2+\mathrm{d}{y}^2.\end{array}$$

• 利用 (8.61a) 计算椭圆的周长: 作代换 $x=x\left(t\right)=a\sin t,y=y\left(t\right)=b\cos t$ ,有

$$L_{\stackrel{⏜}{AB}}={\int }_{t_1}^{t_2}\sqrt{a^2-\left(a^2-b^2\right){\sin }^{2}t}\mathrm{d}t=a{\int }_{t_1}^{t_2}\sqrt{1-e^2{\sin }^{2}t}\mathrm{d}t,$$

其中 $e=\sqrt{a^2-b^2}/a$ 为椭圆的离心率.

因为 $x=0$ 时 $y=b,x=a$ 时 $y=0$ ,所以第一象限的积分限为 $t_1=0$ , $t_2=\pi /2$ ,故椭圆的周长 $L_{\stackrel{⏜}{AB}}=4a{\int }_0^{\pi /2}\sqrt{1-e^2{\sin }^{2}t}\mathrm{d}t=aE\left(k,\frac{\pi }{2}\right)$ ,其中 $k=e$ . 积分 $E\left(k,\frac{\pi }{2}\right)$ 的值可查表 21.9(参见第 653 页 8.1.4.3).

(2) 由极坐标 $\rho =\rho \left(\phi \right)$ 给出的 $C,D$ 两点间的曲线弧长 (II)(图 8.13(b)) 为

$$\begin{array}{}\text{(8.61c)}& L_{\stackrel{⏜}{CD}}={\int }_{{\phi }_1}^{{\phi }_2}\sqrt{{\rho }^2+{\left(\frac{\mathrm{d}\rho }{\mathrm{d}\phi }\right)}^2}\mathrm{d}\phi .\end{array}$$

由弧微分 $\mathrm{d}l$ ,有

$$\begin{array}{}\text{(8.61d)}& L=\int \mathrm{d}l,\text{ 其中 }\mathrm{d}{l}^2={\rho }^2\mathrm{d}{\phi }^2+\mathrm{d}{\rho }^2.\end{array}$$

3. 旋转体的表面积(也可参见第 673 页的第一古尔丁 (Guldin) 法则)

(1) 函数 $y=f\left(x\right)\ge 0$ 的图像绕 $x$ 轴旋转 (图 8.14(a)) 得到的旋转体的表面积为

$$\begin{array}{}\text{(8.62a)}& S=2\pi {\int }_a^{b}y\mathrm{d}l=2\pi {\int }_a^{b}y\left(x\right)\sqrt{1+{\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)}^2}\mathrm{d}x.\end{array}$$

(2) 函数 $x=f\left(y\right)\ge 0$ 绕 $y$ 轴旋转 (图 8.14(b)) 得到的旋转体的表面积为

$$\begin{array}{}\text{(8.62b)}& S=2\pi {\int }_{\alpha }^{\beta }x\mathrm{d}l=2\pi {\int }_{\alpha }^{\beta }x\left(y\right)\sqrt{1+{\left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}\right)}^2}\mathrm{d}y.\end{array}$$

(3) 要计算更复杂的曲面面积, 可利用 699 页 8.4.1.3 中二重积分的应用以及 709 页 8.5.1.3 中的第一类曲面积分的应用. 700 页的表 8.9(二重积分的应用) 给出了利用二重积分求曲面面积的一般计算公式.

4. 体积 (也可参见第 673 页的第二古尔丁法则)

(1) 绕 $x$ 轴旋转的旋转对称体 (图 8.14(a)) 的体积为

$$\begin{array}{}\text{(8.63a)}& V=\pi {\int }_a^b{y}^2\mathrm{d}x\end{array}$$

(2) 绕 $y$ 轴旋转的旋转对称体 (图 8.14(b)) 的体积为

$$\begin{array}{}\text{(8.63b)}& V=\pi {\int }_{\alpha }^{\beta }{x}^2\mathrm{d}y.\end{array}$$

(3) 截面垂直于 $x$ 轴,且截面面积为 $S=f\left(x\right)$ 的立体 (图 8.15) 体积为

$$\begin{array}{}\text{(8.64a)}& V={\int }_a^{b}f\left(x\right)\mathrm{d}x.\end{array}$$

计算以原点为中心的旋转椭球体体积. 当 $a=c$ 时旋转椭球体 $x^2/a^2+y^2/b^2+$ $z^2/c^2=1$ (参见第 302 页 3.5.3.13,2.,(3.412),以及图 8.16) 由椭圆 $y^2/b^2+z^2/c^2=$ 1 绕 $y$ 轴旋转而得到,与 $zOx$ 面平行的圆形的横截面面积 $S=f\left(y\right)=\pi z^2=$ $\pi c^2\left(1-y^2/b^2\right)$ ,因此由积分可得椭球体体积 $V=2\pi c^2{\int }_0^b\left(1-y^2/b^2\right)\mathrm{d}y=$ $\left(4/3\right)\pi b{c}^2$ .

(4) 卡瓦列里 (Cavalieri) 原理 若在区间 $\left[a,b\right]$ 上除了存在一个横截面积函数 $S=f\left(x\right)$ 外,还有另一个横截面积函数 $\overline{S}=\overline{f}\left(x\right)$ ,且对任意 $x$ ,有 $\overline{f}\left(x\right)=f\left(x\right)$ , 则体积 $\overline{V}$ 与 (8.64a) 中的体积 $V$ 相等:

$$\begin{array}{}\text{(8.64b)}& \overline{V}={\int }_a^b\overline{f}\left(x\right)\mathrm{d}x=V.\end{array}$$

最初的卡瓦列里原理是说: 夹在两个平行平面之间的两个立体图形, 被平行于这两个平面的任意平面所截, 如果所得的两个截面面积相等, 则这两个立体图形的体积相等 (图 8.17).

(5) 表 表 8.9(参见第 700 页二重积分的应用) 和表 8.10(参见第 705 页三重积分的应用) 给出了用多重积分来计算体积的一般公式.

8.2.2.3 在力学与物理中应用

1. 一点所走过的距离

设一动点的速度与时间有关, $v=f\left(t\right)$ ,则从 $t_0$ 到 $T$ 这段时间该点走过的距离为

$$\begin{array}{}\text{(8.65)}& s={\int }_{t_0}^{T}v\mathrm{d}t\end{array}$$

2. 做功

力场中移动一物体时沿运动方向所做的功. 假设力场方向与运动方向恒定且都是沿 $x$ 轴方向,若力 $\overrightarrow{F}$ 为变力,即 $\left|\overrightarrow{F}\right|=f\left(x\right)$ ,则使物体从点 $x=a$ 沿 $x$ 轴方向移动到点 $x=b$ 所做的功

$$\begin{array}{}\text{(8.66)}& W={\int }_a^{b}f\left(x\right)\mathrm{d}x.\end{array}$$

通常力场的方向与运动方向并不一致,此时功可以利用力与沿给定路径 $\overrightarrow{r}$ 在每点的位移的点积的线性积分 (参见第 692 页 (8.130)) 来计算.

3. 重力压力与侧压

在地球的重力场下,静止流体的密度为 $\rho$ ,重力加速度为 $g$ (参见第 1368 页的表 21.2),重力压力为 $p$ ,侧压为 $p_s$ . 在流体表面下方深度为 $x$ 处 (图 8.18),重力压力为

$$\begin{array}{}\text{(8.67a)}& p=\varrho gx.\end{array}$$

对于侧压 $p_s$ ,比如作用在一个侧开口容器盖板 (表面积为 $A$ ) 上的侧压 (图 8.18) 来自于各个方向的压力 $F$ . 流体表面下方深度 $x$ 处垂直作用在表面微元 $\mathrm{d}A$ 的压力的微分

$$\begin{array}{}\text{(8.67b)}& \mathrm{d}F=\varrho gx\mathrm{d}A=\varrho gxy\left(x\right)\mathrm{d}x.\end{array}$$

除以 $A$ ,积分得

$$\begin{array}{}\text{(8.67c)}& p_s=\frac{\varrho g}{A}{\int }_{h_1}^{h_2}x\left(y_2\left(x\right)-y_1\left(x\right)\right)\mathrm{d}x=\varrho g{x}_C.\end{array}$$

函数 $y_1\left(x\right)$ 和 $y_2\left(x\right)$ 是盖板左右侧边界的函数, $x_C$ 为质心的横坐标 (参见下页 5 . 中平面图形的重心).

注 因为侧压与 $x$ 成比例,故盖板的质心通常并不与压力 $F$ 的着点一致.

4. 转动惯量

(1) 圆弧的转动惯量 区间 $\left[a,b\right]$ 上密度为 $\rho$ 的质地均匀的曲线段 $y=f\left(x\right)$ 关于 $y$ 轴的转动惯量 (图 8.19(a)) 为

$$\begin{array}{}\text{(8.68)}& I_y=\varrho {\int }_a^b{x}^2\mathrm{d}l=\varrho {\int }_a^b{x}^2\sqrt{1+{\left(y^{\prime }\right)}^2}\mathrm{d}x.\end{array}$$

若密度是关于 $x$ 的函数 $\rho \left(x\right)$ ,则其解析表达式包含在被积函数中.

(2) 平面图形的转动惯量 质地均匀的密度为 $\rho$ 的平面图形关于 $y$ 轴的转动惯量 (图 8.19(b)) 为

$$\begin{array}{}\text{(8.69)}& I_y=\varrho {\int }_a^b{x}^{2}y\mathrm{d}x,\end{array}$$

其中 $y$ 为平行于 $y$ 轴的切口图形的长度 (也可参见第 700 页表 8.9(二重积分的应用)). 若点的密度与它在平面图形的位置有关, 则其解析表达式必包含在被积函数中.

5. 重心与古尔丁法则

(1) 弧段的重心 考虑到 667 页的 (8.61a),区间 $\left[a,b\right]$ 上长为 $L$ 的质地均匀的平面曲线弧段 $y=f\left(x\right)$ (图 8.20(a)) 的重心 $C$ 的坐标为

$$\begin{array}{}\text{(8.70)}& x_C=\frac{{\int }_a^{b}x\sqrt{1+{\left(y^{\prime }\right)}^2}\mathrm{d}x}{L},y_C=\frac{{\int }_a^{b}y\sqrt{1+{\left(y^{\prime }\right)}^2}\mathrm{d}x}{L}.\end{array}$$

(2) 闭曲线的重心 长为 $L$ 的闭曲线 $y=f\left(x\right)$ (图 8.20(b)) 上部分方程为 $y_1=f_1\left(x\right)$ ,下部分方程为 $y_2=f_2\left(x\right)$ ,则其重心 $C$ 的坐标为

$$\begin{array}{}\text{(8.71)}& x_C=\frac{{\int }_a^{b}x\left(\sqrt{1+{\left(y_1^{\prime }\right)}^2}+\sqrt{1+{\left(y_2^{\prime }\right)}^2}\right)\mathrm{d}x}{L},\end{array}$$$$y_C=\frac{{\int }_a^b\left(y_1\sqrt{1+{\left(y_1^{\prime }\right)}^2}+y_2\sqrt{1+{\left(y_2^{\prime }\right)}^2}\right)\mathrm{d}x}{L}.$$

(3)第一古尔丁法则 设一平面曲线段绕同一平面内且不与之相交的轴旋转, 不妨取该轴为 $x$ 轴,则所得到的旋转体的表面积 $S_{\text{rot }}$ 等于曲线段长 $L$ 乘以与旋转轴距离为 $r_C$ 的重心所画的圆的周长 $2\pi r_C$ :

$$\begin{array}{}\text{(8.72)}& S_{\text{rot }}=L\cdot 2\pi r_C.\end{array}$$

(4) 曲边梯形的重心 设 $A,B$ 两点间的曲线段方程为 $y=f\left(x\right)$ ,以该曲线为边界的质地均匀的曲边梯形的面积为 $S\left(\text{图 8.20(c))}\right)$ ,则该梯形的重心 $C$ 的坐标为

$$\begin{array}{}\text{(8.73)}& x_C=\frac{{\int }_a^{b}xy\mathrm{d}x}{S},y_C=\frac{\frac{1}{2}{\int }_a^b{y}^2\mathrm{d}x}{S}.\end{array}$$

(5) 任意平面图形的重心 设有面积为 $S$ 任意平面图形 (图 8.20(d)),其上下曲线段方程分别为 $y_1=f_1\left(x\right)$ 和 $y_2=f_2\left(x\right)$ ,则该图形的重心 $C$ 的坐标为

$$\begin{array}{}\text{(8.74)}& x_C=\frac{{\int }_a^{b}x\left(y_1-y_2\right)\mathrm{d}x}{S},y_C=\frac{\frac{1}{2}{\int }_a^b\left(y_1^2-y_2^2\right)\mathrm{d}x}{S}.\end{array}$$

表 8.9 (700 页二重积分的应用) 和表 8.10(705 页三重积分的应用) 给出了利用多重积分来计算重心的公式.

(6) 第二古尔丁法则 假设一平面图形绕同一平面内且不与之相交的轴旋转, 不妨取该轴为 $x$ 轴,则所得到的旋转体体积等于平面图形的面积 $S$ 乘以该旋转下重心所画的圆的周长 $2\pi r_C$ :

$$\begin{array}{}\text{(8.75)}& V_{\text{rot }}=S\cdot 2\pi r_C.\end{array}$$