10.3.4 具有高阶导数的变分问题

这里考虑两类问题.

1. $F=F\left(x,y,y^{\prime },y^{\prime \prime }\right)$

变分问题是

$$\begin{array}{}\text{(10.30a)}& I\left[y\right]={\int }_a^{b}F\left(x,y,y^{\prime },y^{\prime \prime }\right)\mathrm{d}x=\text{ 极值! }\end{array}$$

其边值为

$$\begin{array}{}\text{(10.30b)}& y\left(a\right)=A,y\left(b\right)=B,y^{\prime }\left(a\right)=A^{\prime },y^{\prime }\left(b\right)=B^{\prime },\end{array}$$

其中诸数 $a,b,A,B,A^{\prime },B^{\prime }$ 和函数 $F$ 是给定的. 与第 806 页 10.3.2 类似,引进满足 $\eta \left(a\right)=\eta \left(b\right)={\eta }^{\prime }\left(a\right)={\eta }^{\prime }\left(b\right)=0$ 的可比较曲线 $y\left(x\right)=y_0\left(x\right)+\epsilon \eta \left(x\right)$ ,导致欧拉微分方程(Euler differential equation)

$$\begin{array}{}\text{(10.31)}& \frac{\partial F}{\partial y}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\frac{\partial F}{\partial y^{\prime }}\right)+\frac{{\mathrm{d}}^2}{\mathrm{d}{x}^2}\left(\frac{\partial F}{\partial y^{\prime \prime }}\right)=0\end{array}$$

作为变分问题 (10.30a) 解的一个必要条件. 微分方程 (10.31) 是一个四阶微分方程. 其通解包含 4 个任意常数, 可以由边值 (10.30b) 确定这些常数.

$◼$ 考虑 $F=F\left(y,y^{\prime },y^{\prime \prime }\right)=y^{\prime \prime 2}-\alpha y^{\prime 2}-\beta y^2$ 的问题

$$\begin{array}{}\text{(10.32a)}& I\left[y\right]={\int }_0^1\left(y^{\prime \prime 2}-\alpha y^{\prime 2}-\beta y^2\right)\mathrm{d}x=\text{ 极值! }\end{array}$$

其中 $\alpha$ 和 $\beta$ 是给定的常数. 则 $F_y=-2\beta y,F_{y^{\prime }}=-2\alpha y^{\prime },F_{y^{\prime \prime }}=2y^{\prime \prime },\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(F_{y^{\prime }}\right)=$ $-2\alpha y^{\prime \prime },\frac{{\mathrm{d}}^2}{\mathrm{d}{x}^2}\left(F_{y^{\prime \prime }}\right)=2y^{\left(4\right)}$ ,欧拉微分方程为

$$\begin{array}{}\text{(10.32b)}& y^{\left(4\right)}+\alpha y^{\prime \prime }-\beta y=0.\end{array}$$

这是一个常系数四阶线性微分方程 (参见第 732 页 9.1.2.3).

2. $F=F\left(x,y,y^{\prime },\cdots ,y^{\left(n\right)}\right)$

在此一般情形,当变分问题的泛函 $I\left[y\right]$ 依赖于未知函数 $y$ 的直到 $n\left(n\ge 1\right)$ 阶导数时, 相应的欧拉微分方程是

$$\begin{array}{}\text{(10.33)}& \frac{\partial F}{\partial y}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\frac{\partial F}{\partial y^{\prime }}\right)+\frac{{\mathrm{d}}^2}{\mathrm{d}{x}^2}\left(\frac{\partial F}{\partial y^{\prime \prime }}\right)-\cdots +{(-1)}^n\frac{{\mathrm{d}}^n}{\mathrm{d}{x}^n}\left(\frac{\partial F}{\partial y^{\left(n\right)}}\right)=0,\end{array}$$

其解必须满足直到 $n-1$ 阶的、类似于 (10.30b) 的边界条件.