17.2.1 吸引子上的概率测度

17.2.1.1 不变测度

1. 定义、支撑在吸引子上的测度

设 ${\left\{{\phi }^t\right\}}_{t\in \mathrm{\Gamma }}$ 是 $\left(M,\rho \right)$ 上动力系统, $\mathcal{B}$ 为 $M$ 上所有博雷尔 (Borel) 集合构成的 $\sigma$ 代数 (参见第 905 页 12.9.1,2.),令 $\mu :\mathcal{B}\to \left[0,+\mathrm{\infty }\right]$ 为 $\mathcal{B}$ 上的测度,且对任意 $t\in \mathrm{\Gamma },{\phi }^t$ 关于 $\mu$ 是可测的. 如果对任意 $A\in \mathcal{B},t>0$ ,有 $\mu \left({\phi }^{-t}\left(A\right)\right)=\mu \left(A\right)$ , 则称 $\mu$ 为关于 ${\left\{{\phi }^t\right\}}_{t\in \mathrm{\Gamma }}$ 的不变测度. 如果系统 ${\left\{{\phi }^t\right\}}_{t\in \mathrm{\Gamma }}$ 可逆,则上述不变测度定义可叙述为 $\mu \left({\phi }^t\left(A\right)\right)=\mu \left(A\right),\left(A\in \mathcal{B},t>0\right)$ . 对博雷尔集合 $A\subset M$ 上,如果 $\mu \left(M\setminus A\right)=0$ ,则称 $\mu$ 支撑在 $A$ 上. 设 $\mathrm{\Lambda }$ 为系统 ${\left\{{\phi }^t\right\}}_{t\in \mathrm{\Gamma }}$ 的一个吸引子, $\mu$ 为关于 ${\left\{{\phi }^t\right\}}_{t\in \mathrm{\Gamma }}$ 的不变测度,如果对任意博雷尔集合 $B$ 满足 $\mathrm{\Lambda }\cap B=\varnothing$ ,有 $\mu \left(B\right)=0$ ,则称 $\mu$ 支撑在 $\mathrm{\Lambda }$ 上.

对测度 $\mu :\mathcal{B}\to \left[0,+\mathrm{\infty }\right]$ 定义 $\mu$ 的支撑为所有 $\mu$ 支撑于其上的闭集合的交. - A: 对 $M=\left[0,1\right]$ 上的伯努利转移映射:

$$\begin{array}{}\text{(17.28a)}& x_{\ell +1}=2x_{\ell }\left(\mathrm{mod}1\right).\end{array}$$

系统 $\phi :\left[0,1\right]\to \left[0,1\right]$ 定义为

$$\begin{array}{}\text{(17.28b)}& \phi \left(x\right)=\{\begin{array}{ll}2x,& 0\le x\le \frac{1}{2},\\ 2x-1,& \frac{1}{2}<x\le 1.\end{array}\end{array}$$

从定义可看出勒贝格测度是其不变测度. 若将 $x\in [0,1)$ 写作二进制形式 $x=$ $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n\cdot 2^{-n}$ (其中 $a_n=0$ 或1),将其等同于 $x=.a_1{a}_2{a}_3$ ,则其在算子 $2x\left(\mathrm{mod}1\right)$ 下的像为. $a_1^{\prime }{a}_2^{\prime }{a}_3^{\prime }\cdots$ ,其中 $a_i^{\prime }=a_{i+1}$ ,即所有数字 $a_k$ 都向左移动一位,同时首位数字去掉.

$◼\mathbf{B}$: 定义映射 $\mathrm{\Psi }:\left[0,1\right]\to \left[0,1\right]$ 为

$$\begin{array}{}\text{(17.29)}& \mathrm{\Psi }\left(y\right)=\{\begin{array}{ll}2y,& 0\le y<\frac{1}{2},\\ 2\left(1-y\right),& \frac{1}{2}\le y\le 1.\end{array}\end{array}$$

该映射称为帐篷映射,勒贝格测度为该映射的一个不变测度. 通过同胚 $h:[0,1)\to$ $[0,1),h\left(x\right)=\frac{2}{\pi }\arcsin \sqrt{x}$ 可将系统 (17.5) 转变为系统 (17.29). 因此,当 $\alpha =$ 4 时, 系统 (17.5) 有一个绝对连续不变测度. 事实上, 对系统 (17.29) 的密度函数 ${\rho }_1\left(y\right)\equiv 1$ ,可找到系统 (17.5) 在 $\alpha =4$ 时对应密度函数 $\rho \left(x\right)$ ,二者满足关系 ${\rho }_1\left(y\right)=\rho \left(h^{-1}\left(y\right)\right)\left|\left(h^{-1}\right)\left(y\right)\right|$ ,即 $\rho \left(x\right)=\frac{1}{\pi \sqrt{x\left(1-x\right)}}.$

$◼\mathbf{C}$: 设 $x_0$ 为可逆离散系统 $\left\{{\phi }^i\right\}$ 的一个稳定 $T$ 周期点,则 $\mu =\frac{1}{T}\sum _{i=0}^{T-1}{\delta }_{{\phi }^i\left(x_0\right)}$ 为 $\left\{{\phi }^i\right\}$ 的概率测度,其中 ${\delta }_{x_0}$ 为支撑在 $x_0$ 点的狄拉克(Dirac)测度. (参见第 905 页 12.9.1,2.).

2. 自然测度

设 $\mathrm{\Lambda }\subset M$ 为系统 ${\left\{{\phi }^t\right\}}_{t\in \mathrm{\Gamma }}$ 的一个吸引子,吸引域为 $W$ . 对任意博雷尔集合 $A\subset W$ 及任意 $x_0\in W$ ,定义

$$\begin{array}{}\text{(17.30)}& \mu \left(A;x_0\right)\text{:=}\underset{T\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{t\left(T,A,x_0\right)}{T},\end{array}$$

其中 $t\left(T,A,x_0\right)$ 表示轨道段 ${\left\{{\phi }^t\left(x_0\right)\right\}}_{t=0}^T$ 落入集合 $A$ 的所有时刻构成的集合. 若对 $\lambda$ -几乎处处 $x_0\in W$ ,有 $\mu \left(A;x_0\right)=\alpha$ ,则定义 $\mu \left(A\right)=\mu \left(A;x_0\right)$ . 由于对几乎所有初始点 $x_0\in W$ 的轨道随着 $t$ 趋向于 $+\mathrm{\infty }$ 都趋向于 $\mathrm{\Lambda }$ ,因此 $\mu$ 是支撑在集合 $\mathrm{\Lambda }$ 上的概率测度.

17.2.1.2 遍历论基础

1. 遍历系统

称 $\left(M,\rho \right)$ 上具有不变测度 $\mu$ 的动力系统 ${\left\{{\phi }^t\right\}}_{t\in \mathrm{\Gamma }}$ 是遍历的 (或测度 $\mu$ 是遍历的),如果对所有满足 ${\phi }^{-t}\left(A\right)=A\left(\mathrm{\forall }t>0\right)$ 的博雷尔集合 $A$ ,有 $\mu \left(A\right)=0$ 或 $\mu \left(M\setminus A\right)=0$ . 对离散系统 $\left\{{\phi }^t\right\}\left(17.3\right)$ ,其中 $\phi :M\to M$ 是同胚, $M$ 是紧致度量空间, 总存在不变的遍历测度.

$◼\mathbf{A}$: 对圆周 $S^1$ 上的旋转映射

$$\begin{array}{}\text{(17.31)}& x_{t+1}=x_t+\mathrm{\Phi }\left(\mathrm{mod}2\pi \right),t=0,1,\cdots ,\end{array}$$

$\phi :[0,2\pi )\to [0,2\pi ),\phi \left(x\right)=x+\mathrm{\Phi }\left(\mathrm{mod}2\pi \right)$ . 勒贝格测度是关于 $\phi$ 的不变测度. 如果 $\frac{\mathrm{\Phi }}{2\pi }$ 为无理数,则系统 (17.3) 是遍历的; 如果 $\frac{\mathrm{\Phi }}{2\pi }$ 为无理数,则系统 (17.3) 不是遍历的. _____ $\mathbf{B}$ :稳定平衡点或者稳定周期轨作为吸引子的动力系统关于自然测度是遍历的.

伯克霍夫 (Birkhoff) 遍历定理 设动力系统 ${\left\{{\phi }^t\right\}}_{t\in \mathrm{\Gamma }}$ 关于不变的概率测度 $\mu$ 是遍历的,则对任意可积函数 $h\in L^1\left(M,\mathcal{B},\mu \right)$ ,对 $\mu$ -几乎处处 $x_0\in M,x_0$ 点沿正半轨 ${\left\{{\phi }^t{x}_0\right\}}_{t=0}^{\mathrm{\infty }}$ 的时间平均 $\overline{h}\left(x_0\right)$ 等于空间平均 ${\int }_{M}h\mathrm{d}\mu$ ,其中对连续系统, $\overline{h}\left(x_0\right)=$ $\underset{T\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{T}{\int }_0^{T}h\left({\phi }^t\left(x_0\right)\right)\mathrm{d}t$ ,对离散系统, $\overline{h}\left(x_0\right)=\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}\sum _{i=0}^{n-1}h\left({\phi }^i\left(x_0\right)\right)\mathrm{d}t$ .

2. 物理测度或 SRB 测度

遍历定理叙述只有在测度 $\mu$ 的支撑集充分大时才有意义. 设 $\phi :M\to M$ 是一个连续映射, $\mu :\mathcal{B}\to \mathbb{R}$ 是一个不变测度. 如果对任何连续函数 $h:M\to \mathbb{R}$ ,由所有

满足条件

$$\begin{array}{}\text{(17.32a)}& \underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}\sum _{i=0}^{n-1}h\left({\phi }^i\left(x_0\right)\right)\mathrm{d}t={\int }_{M}h\mathrm{d}\mu \end{array}$$

的点 $x_0$ 构成的集合具有正勒贝格测度,则称 $\mu$ 是一个 $\mathrm{SRB}$ 测度(该命名源于赛奈 (Sinai),鲍恩 (Bowen) 和吕埃勒 (Ruelle),见 [17.6]). 如果对几乎所有 $x\in M$ ,测

度序列

$$\begin{array}{}\text{(17.32b)}& {\mu }_n\text{:=}\frac{1}{n}\sum _{i=0}^{n-1}{\delta }_{{\phi }^i\left(x\right)}\end{array}$$

弱收敛于 $\mu$ ,即 ${\int }_{M}h\mathrm{d}{\mu }_n\to {\int }_{M}h\mathrm{d}\mu ,n\to +\mathrm{\infty }$ ,其中 ${\delta }_x$ 为支撑在 $x$ 点的狄拉克测度,那么 $\mu$ 是一个 SRB 测度.

$◼$ 对一些重要吸引子, 如埃农吸引子, SRB 测度的存在性已被证明.

3. 混合系统

称 $\left(M,\rho \right)$ 上具有不变测度 $\mu$ 的动力系统 ${\left\{{\phi }^t\right\}}_{t\in \mathrm{\Gamma }}$ 是混合的,如果对任意博雷尔集合 $A,B\subset M$ ,有 $\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{lim}\mu \left(A\cap {\phi }^{-t}\left(B\right)\right)=\mu \left(A\right)\mu \left(B\right)$ . 对混合系统而言,由所有满足 $t=0$ 时刻在集合 $A$ ,经过充分长时间 ${\phi }^t$ 作用后落入集合 $B$ 的点所构成的集合的测度只与乘积项 $\mu \left(A\right)\mu \left(B\right)$ 有关.

混合系统也是遍历的: 设 $\left\{{\phi }^t\right\}$ 是一个混合系统,若博雷尔集合 $A$ 满足 ${\phi }^{-t}\left(A\right)=$ $A\left(t>0\right)$ ,则有 $\mu {\left(A\right)}^2=\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{lim}\mu \left(A\cap {\phi }^{-t}\left(A\right)\right)=\mu \left(A\right)$ ,从而 $\mu \left(A\right)=0$ 或 1

系统 (17.1) 的流 $\left\{{\phi }^t\right\}$ 称为混合的,如果对任意 $g,h\in L^2\left(M,\mathcal{B},\mu \right)$ 有

$$\begin{array}{}\text{(17.33)}& \underset{t\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\int }_M\left[g\left({\phi }^t\left(x\right)\right)-\overline{g}\right]\left[h\left(x\right)-\overline{h}\right]\mathrm{d}\mu =0\end{array}$$

成立,其中 $\overline{g}$ 和 $\overline{h}$ 表示空间平均,可由时间平均替换.

$◼$ 映射 (17.28a) 是混合的. 旋转映射 (17.31) 关于概率测度 $\frac{\lambda }{2\pi }$ 不是混合的.

4. 自相关函数

设 $M$ 上关于不变测度 $\mu$ 的动力系统 ${\left\{{\phi }^t\right\}}_{t\in \mathrm{\Gamma }}$ 是遍历的. 设 $h:M\to \mathbb{R}$ 为某连续函数, ${\left\{{\phi }^t\left(x\right)\right\}}_{t\ge 0}$ 为某半轨,将空间平均 $\overline{h}$ 分别在连续和离散情形下被替换成时间平均,即连续情形替换为 $\underset{T\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{T}{\int }_0^{T}h\left({\phi }^t\left(x\right)\right)\mathrm{d}t$ ,离散情形替换为 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}\sum _{i=0}^{n-1}h\left({\phi }^i\left(x\right)\right)$ , 则函数 $h$ 沿半轨 ${\left\{{\phi }^t\left(x\right)\right\}}_{t\ge 0}$ 到时间 $\tau \ge 0$ 的相关函数在流的情形定义为

$$\begin{array}{}\text{(17.34a)}& C_h\left(\tau \right)=\underset{T\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{T}{\int }_0^{T}h\left({\phi }^{t+\tau }\left(x\right)\right)h\left({\phi }^t\left(x\right)\right)\mathrm{d}t-{\overline{h}}^2,\end{array}$$

在离散情形定义为

$$\begin{array}{}\text{(17.34b)}& C_h\left(\tau \right)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}\sum _{i=0}^{n-1}h\left({\phi }^{i+\tau }\left(x\right)\right)h\left({\phi }^i\left(x\right)\right)-{\overline{h}}^2.\end{array}$$

自相关函数也可对负向时间迭代定义,这时 $C_h(\cdot )$ 看作 $\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{Z}$ 上的偶函数.

周期或拟周期轨相应地导致 $C_h$ 的周期或拟周期行为. 对任意测试函数 $h,C_h\left(\tau \right)$ 随 $\tau$ 的增加而快速减小的现象称为混沌. 如果 $C_h\left(\tau \right)$ 随 $\tau$ 的增加以指数速率衰减, 则说明系统混合.

5. 功率谱

称 $C_h\left(\tau \right)$ 的傅里叶变换为功率谱 (参见第 1028 页 15.3.1.2,5.),记为 $P_h\left(\omega \right)$ . 在连续时间情形下,在假设 ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\left|C_h\left(\tau \right)\right|\mathrm{d}\tau <\mathrm{\infty }$ 下,

$$\begin{array}{}\text{(17.35a)}& P_h\left(\omega \right)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{C}_h\left(\tau \right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\omega \tau }\mathrm{d}\tau =2_0^{\mathrm{i}nfty}{C}_h\left(\tau \right)\cos \left(\omega \tau \right)\mathrm{d}\tau \end{array}$$

在离散时间情形下,若 $\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\left|C_h\left(k\right)\right|<+\mathrm{\infty }$ 成立,则

$$\begin{array}{}\text{(17.35b)}& P_h\left(\omega \right)=C_h\left(0\right)+2\sum _{k=1}^{+\mathrm{\infty }}{C}_h\left(k\right)\cos \omega k.\end{array}$$

如果 $C_h(\cdot )$ 的绝对可积或可加性假设不成立,则在大多数重要情形下, $P_h$ 看作一个分布. 对应于动力系统周期行为的能量谱可被刻画为等距脉冲. 对拟周期行为, 能量谱也存在脉冲, 它们是拟周期行为基本脉冲的整系数线性组合. 在宽带谱中出现奇异峰值可被认为混沌行为标志.

$◼\mathbf{A}$: 设 $\phi$ 是系统 (17.1) 的 $T$ 周期轨道,试验函数 $h$ 满足时间平均 $h\left(\phi \left(t\right)\right)$ 等于 0 . 若 $h\left(\phi \left(t\right)\right)$ 的傅里叶表示为

$$h\left(\phi \left(t\right)\right)=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{\alpha }_k{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}k{\omega }_{0}t},{\omega }_0=\frac{2\pi }{T},$$

则有

$$C_h\left(\tau \right)=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{\left|{\alpha }_k\right|}^2\cos \left(k{\omega }_0\tau \right),P_h\left(\omega \right)=2\pi \sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{\left|{\alpha }_k\right|}^2\delta \left(\omega -k{\omega }_0\right).$$

$◼\mathbf{B}$: 设 $\phi$ 是系统 (17.1) 的一个拟周期轨道,试验函数 $h$ 满足沿系统 $\phi$ 的时间平均等于 0 . 设 $h\left(\phi \left(t\right)\right)$ 可表示为 (双傅里叶级数)

$$h\left(\phi \left(t\right)\right)=\sum _{k_1=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\sum _{k_2=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{\alpha }_{k_1{k}_2}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\left(k_1{\omega }_1+k_2{\omega }_2\right)t},$$

则

$$C_h\left(\tau \right)=\sum _{k_1=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\sum _{k_2=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{\left|{\alpha }_{k_1{k}_2}\right|}^2\cos \left(k_1{\omega }_1+k_2{\omega }_2\right)\tau ,$$$$P_h\left(\omega \right)=2\pi \sum _{k_1=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\sum _{k_2=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{\left|{\alpha }_{k_1{k}_2}\right|}^2\delta \left(\omega -k_1{\omega }_1-k_2{\omega }_2\right).$$