2.11.4 蔓叶线

方程

$$\begin{array}{}\text{(2.228a)}& y^2=\frac{x^3}{a-x}\left(a>0\right)\end{array}$$

或参数方程

$$x=\frac{a{t}^2}{1+t^2},y=\frac{a{t}^3}{1+t^2},$$

其中

$$\begin{array}{}\text{(2.228b)}& t=\tan \nless POx\left(a>0,-\mathrm{\infty }<t<\mathrm{\infty }\right),\end{array}$$

或极坐标方程

$$\begin{array}{}\text{(2.228c)}& \rho =\frac{a{\sin }^2\phi }{\cos \phi }\left(a>0\right)\end{array}$$

(图 2.60) 是满足

$$\begin{array}{}\text{(2.229)}& \overline{OP}=\overline{MQ}\end{array}$$

的点 $P$ 的轨迹. 其中 $M$ 是直线 $OP$ 和半径为 $\frac{a}{2}$ 的圆的交点,且 $Q$ 为直线 $OP$ 和渐近线 $x=a$ 的交点. 曲线与渐近线围成的面积 $S=\frac{3}{4}\pi a^2$ .