1.3.3 分期付款的计算

1.3.3.1 分期付款

分期付款是一种信用还款, 假设:

(1) 债务 $S$ ,债务人在利息周期末以 $p\mathrm{\%}$ 的利息还债.

(2) $N$ 个利息周期后,还清全部债务.

债务人的还债包括每个利息周期的利息和本金还款. 若利息周期是一年, 整年内的支付数量称为年金.

债务人有各种还债方式, 比如, 可在利息日或其间还款; 还款数额可次次不同, 或整个还款期间还款数额始终为常数.

1.3.3.2 等额本金还款

年内进行分期付款, 但不计算中期复利. 使用下述记号:

• 债务 $S$ (在每期末以 $p\mathrm{\%}$ 的利息还款),

• $T=\frac{S}{mN}$ 本金还款 $\left(T=\text{ 常数 }\right)$ ,

• $m$ 是一个利息周期内的还款次数,

• $N$ 是直到债务全部还完时的利息周期数.

除了本金还款, 债务人也可以实行利息还债:

a) 第 $n$ 个利息周期的利息 $Z_n$

$$\begin{array}{}\text{(1.81a)}& Z_n=\frac{pS}{100}\left[1-\frac{1}{N}\left(n-\frac{m+1}{2m}\right)\right].\end{array}$$

b) 对于 $mN$ 期债务 $S,N$ 个利息周期内,利率为 $p\mathrm{\%}$ ,需支付的全部利息 $Z$ :

$$\begin{array}{}\text{(1.81b)}& Z=\sum _{n=1}^N{Z}_n=\frac{pS}{100}\left[\frac{N-1}{2}+\frac{m+1}{2m}\right].\end{array}$$

$◼$ 债务€60000,年利率是 8%,60 个月进行本金还款,应在每月月末还款€1000. 每年年末的实际利息是多少呢? 根据 (1.81a) 式计算每年的利息, $S=60000,p=8$ , $N=5,m=12$ ,结果列举如下.

第 1 年: $Z_1=\text{€}4360$

第 2 年: $Z_2=\text{€}3400$

第 3 年: $Z_3=\text{€}2440$

第 4 年: $Z_4=\text{€}1480$

第 5 年: $Z_5=\text{€}520$

$$Z=\text{€}12200$$

也可由 (1.81b) 式计算总利息, $Z=\frac{8\cdot 60000}{100}\left(\frac{5-1}{2}+\frac{13}{24}\right)=612200$ .

1.3.3.3 等额年金

对于等额本金还款 $T=\frac{S}{mN}$ ,支付的利息在还款期限内逐渐减少 (见前例). 与此相反,在等额年金情形下,每个利息周期内偿还的数量相同. 常数年金 $A$ 包括需偿还的本金和利息, 即在整个还款周期内, 债务人的还债是同一数量.

使用记号:

• 债务 $S$ (在每期末以 $p\mathrm{\%}$ 的利息还款),

• 任一利息周期的年金 $A\left(A\text{是常数}\right)$ ,

• $a$ 是一次分期付款额,每个利息周期内还款 $m$ 次 ( $a$ 是常数),

• $q=1+\frac{p}{100}$ 是累积因子.

$n$ 个利息周期后,剩余的债务 $S_n$ 是

$$\begin{array}{}\text{(1.82)}& S_n=S{q}^n-a\left[m+\frac{\left(m-1\right)p}{200}\right]\frac{q^n-1}{q-1},\end{array}$$

其中, $S{q}^n$ 表示经过 $n$ 次复利的利息周期后,债务 $S$ 的值 (参见 (1.76) 式). (1.82) 式的第二项给出使用复利计算的中期还款 $a$ 的值 (参见 (1.80b) 式,且 $E=a$ ). 对于年金有

$$\begin{array}{}\text{(1.83)}& A=a\left[m+\frac{\left(m-1\right)p}{200}\right],\end{array}$$

其中,还款 $A$ 即指每次还款 $a$ ,还款 $m$ 次. 由 (1.83) 式,可推出 $A\ge ma$ . 由于 $N$ 次利息周期后,债务必须全部还清,根据 (1.83) 式及 $S_N=0$ ,考虑 (1.83) 式,对于年金有

$$\begin{array}{}\text{(1.84)}& A=S{q}^N\frac{q-1}{q^N-1}=S\frac{q-1}{1-q^{-N}}.\end{array}$$

为解决商业数学问题,由 (1.84) 式,对数量 $A,S,q,N$ ,知道其中任意三个,可计算另一个.

$◼\mathbf{A}$:贷款€60000,年利率是 8%,等额分期付款 5 年内还清,问年金 A 和月还款额 $a$ 是多少? 由 (1.84) 式和 (1.83) 式,可得

$$A=60000\frac{0.08}{1-\frac{1}{{1.08}^5}}=\text{€}15027.39,a=\frac{15027.39}{12+\frac{11.8}{200}}=\text{€}1207.99.$$

IB: 贷款 $S=\text{€}100000$ ,以等额年金方式和 $7.5\mathrm{\%}$ 的利率,在 $N=8$ 年内还清,每年末须支付€5000 的额外还款. 月还款额将是多少? 根据 (1.84) 式可推出, 每年的年金 $A$

$$A=100000\frac{0.075}{1-\frac{1}{{1.075}^8}}=\text{€}17072.70.$$

由于 $A$ 包含了 12 个月的分期付款 $a$ ,以及每年年末的额外还款€5000,由 (1.83) 式, $A=a\left(12+\frac{11\cdot 7.5}{200}\right)+5000=17072.70$ ,故月还款额 $a=\text{€}972.62$ .