17.2.3 李雅普诺夫指数

1. 矩阵的奇异值

设 $L$ 是任意的(n, n)型矩阵, $\mathbf{L}$ 的奇异值 ${\sigma }_1\ge {\sigma }_2\ge \cdots \ge {\sigma }_n$ 指半正定矩阵 ${\mathbf{L}}^{\mathrm{T}}\mathbf{L}$ 的非负特征值 ${\alpha }_1\ge \cdots \ge {\alpha }_n\ge 0$ ,其中 ${\alpha }_i$ 的排列将重数考虑在内.

奇异值有几何上的解释: 如果 $K_{\epsilon }$ 表示中心在原点,半径为 $\epsilon >0$ 的球,则像集 $L\left(K_{\epsilon }\right)$ 是一个半轴长度为 ${\sigma }_i\epsilon \left(i=1,2,\cdots ,n\right)$ 的椭球体 (图 17.13(a)).

2. 李雅普诺夫指数的定义

设 ${\left\{{\phi }^t\right\}}_{t\in \mathrm{\Gamma }}$ 是 $M\subset {\mathbb{R}}^n$ 上的光滑动力统, $\mathrm{\Lambda }$ 为其一个吸引子, $\mu$ 为支撑在 $\mathrm{\Lambda }$ 上遍历的不变概率测度. 对任意 $t\ge 0$ 及 $x\in \mathrm{\Lambda },{\sigma }_1\left(t,x\right)\ge \cdots \ge {\sigma }_n\left(t,x\right)$ 表示 ${\phi }^t$ 在 $x$ 点处雅可比矩阵 $D{\phi }^t\left(x\right)$ 的奇异值. 则存在一列数 ${\lambda }_1\ge \cdots \ge {\lambda }_n$ ,满足对 $\mu$ -几乎处处 $x,\frac{1}{t}\ln {\sigma }_i\left(t,x\right)\stackrel{L^1}{\to }{\lambda }_i,t\to +\mathrm{\infty }$ ,这一列数即为李雅普诺夫指数. 由 Oseledec 定理,对 $\mu$ -几乎处处 $x$ ,存在 ${\mathbb{R}}^n$ 的一列子空间

$$\begin{array}{}\text{(17.38)}& {\mathbb{R}}^n=E_{s_1}^x\supset E_{s_2}^x\supset \cdots \supset E_{s_{r+1}}^x=\{0\},\end{array}$$

满足 $\frac{1}{t}\ln \Vert \begin{array}{c}D{\phi }^t\left(x\right)v\end{array}\Vert$ 关于 $v\in E_{s_j}^x\setminus E_{s_{j+1}}^x$ 一致地收敛于 $\left\{{\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_n\right\}$ 中某元素 ${\lambda }_{s_j}$ .

3. 李雅普诺夫指数的计算

若将位于 $x$ 点的单位球面经过算子 $D{\phi }^t\left(x\right)$ 作用后得到的椭球面的半轴长度记为 ${\sigma }_i\left(t,x\right)$ . 利用某些重新正规化方法 (例如豪斯霍尔德 (Householder) 变换) 后,通过公式 ${\chi }_i\left(x\right)=\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}sup\frac{1}{t}\ln {\sigma }_i\left(t,x\right)$ 可计算得到李雅普诺夫指数. 函数 $y\left(t,x,v\right)=$ $D{\phi }^t\left(x\right)$ 是流 $\left\{{\phi }^t\right\}$ 的半轨 ${\gamma }^{+}\left(x\right)$ 关于 $v$ 的变分方程在 $t=0$ 时刻的解. 事实上, 如果 ${\left\{{\phi }^t\right\}}_{t\in \mathbb{R}}$ 是 (17.1) 对应的流,则相应的变分方程为 $\dot{y}=Df\left({\phi }^t\left(x\right)\right)y$ . 该方程在 $t=0$ 时刻初始值为 $v$ 的解可表示为 $y\left(t,x,v\right)={\mathrm{\Phi }}_x\left(t\right)v$ ,其中 ${\mathrm{\Phi }}_x\left(t\right)$ 为变分方程在 $t=0$ 的赋范基本矩阵,由解关于初值的可微性定理 (参见第 1117 页 17.1.1.1, 2.),它是矩阵微分方程 $\dot{\mathbf{Z}}=Df\left({\phi }^t\left(x\right)\right)\mathbf{Z}$ 关于初值条件 $\mathbf{Z}\left(0\right)={\mathbf{E}}_n$ 的解.

$\chi \left(x,v\right)=\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}sup\frac{1}{t}\ln \Vert \begin{array}{c}D{\phi }^t\left(x\right)v\end{array}\Vert$ 描述了初始点为 $x+\epsilon v$ 的轨道 $\gamma \left(x+\epsilon v\right),0<$ $\epsilon \ll 1$ 关于初始轨道 $\gamma \left(x\right)$ 沿方向 $v$ 的动力学行为. 如果 $\chi \left(x,v\right)<0$ ,则随 $t$ 增加, 轨道沿 $v$ 方向接近 $x$ 点,反之,轨道沿 $v$ 方向远离 $x$ 点 (图 17.13(b)).

设 $\mathrm{\Lambda }$ 为动力系统 ${\left\{{\phi }^t\right\}}_{t\in \gamma }$ 的吸引子, $\mu$ 为支撑在 $\mathrm{\Lambda }$ 上不变的遍历测度,对 $\mu$ -几乎处处 $x\in \mathrm{\Lambda }$ ,在流的情形 (17.1) 下,所有李雅普诺夫指数之和为

$$\begin{array}{}\text{(17.39a)}& \sum _{i=1}^n{\lambda }_i=\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{t}{\int }_0^t\mathrm{div}f\left({\phi }^s\left(x\right)\right)\mathrm{d}s,\end{array}$$

在离散情形 (17.3) 下, 所有李雅普诺夫指数之和为

$$\begin{array}{}\text{(17.39b)}& \sum _{i=1}^n{\lambda }_i=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{k}\sum _{i=0}^{k-1}\ln \Vert \begin{array}{c}detD\phi \left({\phi }^i\left(x\right)\right)\end{array}\Vert .\end{array}$$

因此对耗散系统, $\sum _{i=1}^n{\lambda }_i<0$ . 如果吸引子不是一个平衡点,且至少有一个李雅普诺夫指数为零, 则关于李雅普诺夫指数的计算可被简化 (见 [17.16]).

$◼\mathbf{A}$: 设 $x_0$ 为流 (17.1) 的一个平衡点, ${\alpha }_i$ 为雅可比矩阵在 $x_0$ 的特征值. 对支撑在 $x_0$ 点的测度,李雅普诺夫指数为 ${\lambda }_i=\mathrm{Re}{\alpha }_i\left(i=1,2,\cdots ,n\right)$ .

$◼\mathbf{B}$: 设 $\gamma \left(x_0\right)=\left\{{\phi }^t\left(x_0\right),t\in \left[0,T\right]\right\}$ 为 (17.1) 的 $T$ 周期轨, ${\rho }_i$ 为 $\gamma \left(x_0\right)$ 点的相应乘子,则对支撑在 $\gamma \left(x_0\right)$ 的测度有 ${\lambda }_i=\frac{1}{T}\ln \left|{\rho }_i\right|,i=1,2,\cdots ,n$ .

4. 测度熵与李雅普诺夫指数

设 $\mathrm{\Lambda }\subset \mathbb{R}$ 为动力系统 ${\left\{{\phi }^t\right\}}_{t\in \gamma }$ 的吸引子, $\mu$ 为支撑在 $\mathrm{\Lambda }$ 上遍历的概率测度, $h_{\mu }$ 为测度熵,则 $h_{\mu }\le \sum _{{\lambda }_i>0}{\lambda }_i$ ,其中加和项为对所正李雅普诺夫指数相加,且记重数.

等式

$$\begin{array}{}\text{(17.40)}& h_{\mu }=\sum _{{\lambda }_i>0}{\lambda }_i\text{ (佩辛 (Pesin) 熵公式) }\end{array}$$

一般不成立 (可参见第 1153 页 17.2.4.4,$◼\mathbf{B}$). 如果 $\mu$ 绝对连续于勒贝格测度,且 $\phi :M\to M$ 是 $C^2$ 微分同胚,则佩辛熵公式成立.