11.3.1 具有退化核的积分方程

1. 问题的叙述

考虑具有退化核的第一类弗雷德霍姆积分方程

$$\begin{array}{}\text{(11.38a)}& f\left(x\right)={\int }_a^b\left({\alpha }_1\left(x\right){\beta }_1\left(y\right)+\cdots +{\alpha }_n\left(x\right){\beta }_n\left(y\right)\right)\phi \left(y\right)\mathrm{d}y\left(c\le x\le d\right),\end{array}$$

并引进类似于在第 818 页 11.2 中所用的记号

$$\begin{array}{}\text{(11.38b)}& A_j={\int }_a^b{\beta }_j\left(y\right)\phi \left(y\right)\mathrm{d}y\left(j=1,2,\cdots ,n\right).\end{array}$$

则 (11.38a) 有形式

$$\begin{array}{}\text{(11.38c)}& f\left(x\right)=A_1{\alpha }_1\left(x\right)+\cdots +A_n{\alpha }_n\left(x\right),\end{array}$$

即,仅当 $f\left(x\right)$ 是函数 ${\alpha }_1\left(x\right),\cdots ,{\alpha }_n\left(x\right)$ 的线性组合时积分方程有解. 如果这个假设被满足,则可以求得系数 $A_1,\cdots ,A_n$ .

2. 初步的途径

求形如

$$\begin{array}{}\text{(11.39a)}& \phi \left(x\right)=c_1{\beta }_1\left(x\right)+\cdots +c_n{\beta }_n\left(x\right)\end{array}$$

的解,其中系数 $c_1,\cdots ,c_n$ 是未知的,把 (11.39a) 代入 (11.38b),得到

$$\begin{array}{}\text{(11.39b)}& A_i=c_1{\int }_a^b{\beta }_i\left(y\right){\beta }_1\left(y\right)\mathrm{d}y+\cdots +c_n{\int }_a^b{\beta }_i\left(y\right){\beta }_n\left(y\right)\mathrm{d}y,\end{array}$$

再引进记号

$$\begin{array}{}\text{(11.39c)}& K_{ij}={\int }_a^b{\beta }_i\left(y\right){\beta }_j\left(y\right)\mathrm{d}y,\end{array}$$

则给出未知系数 $c_1,\cdots ,c_n$ 的下述方程组:

$$K_{11}{c}_1+\cdots +K_{1n}{c}_n=A_1,$$$$\begin{array}{}\text{(11.39d)}& ⋮\end{array}$$$$K_{n1}{c}_1+\cdots +K_{nn}{c}_n=A_n.$$

3. 解

如果函数 ${\beta }_1\left(x\right),\cdots ,{\beta }_n\left(x\right)$ 是线性无关的,则系数矩阵是非奇异的 (参见第 858 页 12.1.3). 然而, 用 (11.39a) 所得到的解并非只有一个. 与具有退化核的第二类积分方程不同,属于 (11.38a) 的齐次积分方程总有非平凡解. 假设 ${\phi }^h\left(x\right)$ 是齐次方程这样的一个解,并且 $\phi \left(x\right)$ 是方程 (11.38a) 的一个解. 则 $\phi \left(x\right)+{\phi }^h\left(x\right)$ 也是 (11.38a) 的一个解.

为了确定齐次方程所有的解,考虑 $f\left(x\right)=0$ 的方程 (11.38c). 如果函数 ${\alpha }_1\left(x\right)$ , $\cdots ,{\alpha }_n\left(x\right)$ 是线性无关的,则方程(11.38c)成立,当且仅当

$$\begin{array}{}\text{(11.40)}& A_j={\int }_a^b{\beta }_j\left(y\right)\phi \left(y\right)\mathrm{d}y=0\left(j=1,2,\cdots ,n\right),\end{array}$$

即,正交于每个函数 ${\beta }_j\left(y\right)$ 的每个函数 ${\phi }^h\left(y\right)$ 是齐次积分方程的解.