8.1.1 原函数或反导数

1. 定义

设 $y=f\left(x\right)$ 为区间 $\left[a,b\right]$ 上的函数,若 $F\left(x\right)$ 在 $\left[a,b\right]$ 上处处可微,且其导数为 $f\left(x\right)$ :

$$\begin{array}{}\text{(8.1)}& F^{\prime }\left(x\right)=f\left(x\right),\end{array}$$

则 $F\left(x\right)$ 称为 $f\left(x\right)$ 的原函数或反导数. 因为 $F\left(x\right)+C(C$ 为常数) 在微分过程中所加常数项 $C$ 消失,所以一个函数如果有原函数,便会有无穷多个原函数,且两个原函数的差为常数. 于是只要把一个特殊的原函数沿坐标轴方向平移, 便能得到所有原函数 $F_1\left(x\right),F_2\left(x\right),\cdots ,F_n\left(x\right)$ 的图像 (图 8.2).

2. 练习

区间 $\left[a,b\right]$ 上的连续函数在该区间都存在原函数. 若存在一些间断点,则可将该区间分解成一系列子区间, 使其原函数在这些子区间连续. 例如, 图 8.3 中, 若上半部分图形表示已知函数 $y=f\left(x\right)$ ,下半部分图形表示的函数 $y=F\left(x\right)$ 则是所考虑区间的原函数.

8.1.1.1 不定积分

函数 $f\left(x\right)$ 的不定积分是 $f\left(x\right)$ 所有原函数的集合:

$$\begin{array}{}\text{(8.2)}& F\left(x\right)+C=\int f\left(x\right)\mathrm{d}x.\end{array}$$

积分号 $\int$ 下的函数 $f\left(x\right)$ 称为被积函数, $x$ 称为积分变量, $C$ 称为积分常数. 在其他学科,特别是物理学中,积分也是很实用的记号,而且会把微分 $\mathrm{d}x$ 写在积分号之后,函数 $f\left(x\right)$ 之前.

8.1.1.2 初等函数的积分

1. 基本积分

以解析形式表示的初等函数的积分可化为一系列基本积分, 而因为不定积分即为确定函数 $f\left(x\right)$ 的原函数 $F\left(x\right)$ ,所以这些基本积分可由大家熟知的初等函数的导数得到.

表 8.1 中的积分公式源自 583 页表 6.1 中微分公式 (初等函数的导数) 的逆运算,略去了积分常数 $C$ .

幂函数 $\left(\left|x\right|<a,a>0\right)$$\left(a>0\right)$	指数函数
$\int x^n\mathrm{d}x=\frac{x^{n+1}}{n+1}\left(n\ne -1\right)$	$\int {\mathrm{e}}^x\mathrm{d}x={\mathrm{e}}^x$
$\int \frac{\mathrm{d}x}{x}=\ln \left|x\right|$	$\int a^x\mathrm{d}x=\frac{a^x}{\ln a}\left(a>0,a\ne 1\right)$
三角函数	双曲函数
$\int \sin x\mathrm{d}x=-\cos x$	$\int \sinh x\mathrm{d}x=\cosh x$
$\int \cos x\mathrm{d}x=\sin x$	$\int \cosh x\mathrm{d}x=\sinh x$
$\int \tan x\mathrm{d}x=-\ln \left|\cos x\right|$	$\int \tanh x\mathrm{d}x=\ln \left|\cosh x\right|$
$\int \cot x\mathrm{d}x=\ln \left|\sin x\right|$	$\int \coth x\mathrm{d}x=\ln \left|\sinh x\right|$
$\int \frac{\mathrm{d}x}{{\cos }^{2}x}=\tan x$	$\int \frac{\mathrm{d}x}{{\cosh }^{2}x}=\tanh x$
$\int \frac{\mathrm{d}x}{{\sin }^{2}x}=-\cot x$	$\int \frac{\mathrm{d}x}{{\sinh }^{2}x}=-\coth x$
分式有理函数	无理函数
$\int \frac{\mathrm{d}x}{a^2+x^2}=\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}$ $\int \frac{\mathrm{d}x}{a^2-x^2}=\frac{1}{a}\mathrm{Artanh}\frac{x}{a}=\frac{1}{2a}\ln \left|\frac{a+x}{a-x}\right|$	$\int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin \frac{x}{a}$ $\int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{a^2+x^2}}=\mathrm{Arsinh}\frac{x}{a}=\ln \left|x+\sqrt{x^2+a^2}\right|$
$\int \frac{\mathrm{d}x}{x^2-a^2}=-\frac{1}{a}\mathrm{Arcoth}\frac{x}{a}=\frac{1}{2a}\ln \left|\frac{x-a}{x+a}\right|$ $\left(\left|x\right|>a,a>0\right)$	$\int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x^2-a^2}}=\mathrm{Arcosh}\frac{x}{a}=\ln \left|x+\sqrt{x^2-a^2}\right|$ $\left(\left|x\right|>a,a>0\right)$

2. 一般积分

为了解决积分问题, 应尽量利用代数变换、三角变换以及基本积分的积分法则将给定积分化简. 在很多情况下, 具有初等原函数的函数都能通过 8.1.2 中的积分方法加以积分. 1382 页中的表 21.7(不定积分) 列出了某些积分结果. 在积分中下面的注有着重要作用:

a) 通常可以忽略积分常数, 除非某些积分在不同形式时可用不同的任意常数来表示;

b) 若原函数中存在一个含 $\ln f\left(x\right)$ 的表达式, $\ln f\left(x\right)$ 必须用 $\ln \left|f\left(x\right)\right|$ 代替;

c) 若原函数以幂级数的形式给出, 则函数不能按初等方法积分.

[8.1] 和 [8.3] 中给出了更多的积分形式及结果.