12.7.2 紧算子

12.7.2.1 紧算子的定义

赋范空间 ${}^{\text{①}}X$ 到赋范空间 $Y$ 的算子 $T:X\to Y$ 称作紧的,是指每个有界集 $A\subset X$ 的像集 $T\left(A\right)$ 是 $Y$ 中的相对紧集. 此外,若算子 $T$ 还是连续的,则 $T$ 称作全连续的. 每个紧线性算子都是连续的, 因而是全连续的. 为了一个线性算子是紧的,只要求它把 $X$ 中的单位球变成 $Y$ 中的相对紧集就够了.

12.7.2.2 线性紧算子的性质

$B\left(X,Y\right)$ 中算子的紧性也可以用序列方式刻画: 对于 $X$ 中每个有界序列 ${\left\{x_n\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ ,序列 ${\left\{T{x}_n\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ 总包含一收敛子序列. 紧算子的线性组合还是紧算子. 设算子 $U\in B\left(W,X\right),T\in B\left(X,Y\right),S\in B\left(Y,Z\right)$ ,如果乘积算子 $TU$ 和 $ST$ 中有一个相乘的算子是紧的,那么算子 $TU,ST$ 也是紧算子. 如果 $Y$ 是巴拿赫空间,则如下重要的命题成立:

a) 收敛性: 如果紧算子序列 ${\left\{T_n\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ 在空间 $B\left(X,Y\right)$ 中收敛,则其极限也是紧算子.

b) 绍德尔定理: 如果 $T$ 是连续线性算子,则 $T$ 和 $T^{\ast }$ 或者同时是紧算子,或者同时都不是紧算子.

c) 紧算子 $T$ 在 (无穷维) 巴拿赫空间中的谱性质: 零属于谱. 谱 $\sigma \left(T\right)$ 中的每个非零点 $\lambda$ 都是本征值,其本征子空间 $X_{\lambda }=\{x\in X:\left(\lambda I-T\right)x=0\}$ 是有穷维的,并且 $\mathrm{\forall }\epsilon >0$ ,在圆 $\{\left|\lambda \right|\le \epsilon \}$ 之外 $T$ 至多只有有穷个本征值,这里仅有零点可能是本征值集的聚点. 如果 $\lambda \ne 0$ 不是 $T$ 的本征值,那么当 $T^{-1}$ 存在时,它必是无界的.

12.7.2.3 元的弱收敛

赋范空间 $X$ 的序列 ${\left\{x_n\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ 称作弱收敛于元 $x_0$ 是指对于每个 $f\in X^{\ast }$ ,有 $f\left(x_n\right)\to f\left(x_0\right)$ (写成: $x_n\rightharpoonup x_0$ 或 $x_n\stackrel{w}{\to }{x}_0)$ .

显然, $x_n\to x_0$ 蕴涵 $x_n\rightharpoonup x_0$ . 如果 $Y$ 是另一个赋范空间,并且 $T:X\to Y$ 是连续线性算子, 那么

**a) $x_n\ast \ast \rightharpoonup x_0$ 蕴涵 $T{x}_n\rightharpoonup T{x}_0$ ,

b) 如果 $T$ 是紧的,那么 $x_n\rightharpoonup x_0$ 蕴涵 $x_n\to T{x}_0$ .

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①只需 $X$ 是距离 (甚至更一般的) 空间. 不过在下面的论述中并不使用这种一般性.

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$◼\mathbf{A}$: 每个有穷维算子都是紧的, 由此可见无穷维空间中的恒等算子不可能是紧的 (参见第 896 页 12.7.1).

$◼\mathbf{B}$: 假定 $X={\ell }^2$ ,并设 $T$ 是 ${\ell }^2$ 中由下列无穷矩阵给出的算子:

$$\begin{array}{}\text{(12.188)}& \left(\begin{array}{cccc}{t}_{11}& t_{12}& t_{13}& \cdots \\ t_{21}& t_{22}& t_{23}& \cdots \\ t_{31}& \cdot & \cdot & \cdots \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdots \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdots \end{array}\right),Tx=\left(\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{t}_{1k}{x}_k,\cdots ,\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{t}_{nk}{x}_k,\cdots \right).\end{array}$$

如果 $\sum _{k,n=1}^{\mathrm{\infty }}{\left|t_{nk}\right|}^2=M<\mathrm{\infty }$ ,那么 $T$ 是 ${\ell }^2$ 到 ${\ell }^2$ 上的紧算子,并且 $\parallel T\parallel \le M$ .

$◼\mathbf{C}$: 积分算子 (12.136) 是空间 $\mathcal{C}\left(\left[a,b\right]\right)$ 和 $L^p\left(\left[a,b\right]\right)\left(1<p<\mathrm{\infty }\right)$ 中的紧算子.