2.4.4 第 II 类三次曲线

函数

$$\begin{array}{}\text{(2.48)}& y=\frac{1}{a{x}^2+bx+c}\left(a\ne 0\right)\end{array}$$

的图像为一三次曲线 (第 II 类),关于铅直直线 $x=-\frac{b}{2a}$ 对称,因为 $\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}y=0$ , 故 $x$ 轴为它的渐近线 (图 2.19). 该曲线的形状与 $a$ 和 $\mathrm{\Delta }=4ac-b^2$ 的符号有关. 在 $a>0$ 和 $a<0$ 两种情况中,仅考虑第一种情况,事实上,只需将 $y=$ $\frac{1}{\left(-a\right)x^2-bx-c}$ 沿 $x$ 轴反射就可以得到第二种情况.

情形 $\mathbf{a})\mathbf{\Delta }>\mathbf{0}$ 对任意变量 $x$ ,函数都是正的连续函数,且在 $\left(-\mathrm{\infty },-\frac{b}{2a}\right)$ 上单调递增,并取得极大值 $\frac{4a}{\mathrm{\Delta }}$ ,接着在 $\left(-\frac{b}{2a},+\mathrm{\infty }\right)$ 单调递减. 曲线的极值点为 $A\left(-\frac{b}{2a},\frac{4a}{\mathrm{\Delta }}\right)$ ,拐点 $B,C$ 为 $\left(-\frac{b}{2a}\pm \frac{\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a\sqrt{3}},\frac{3a}{\mathrm{\Delta }}\right)$ ; 相应切线的斜率 (角系数 $)\tan \phi =\mp a^2{\left(\frac{3}{\mathrm{\Delta }}\right)}^{3/2}$ (图 2.19(a)).

情形 $\mathbf{b})\mathbf{\Delta }=\mathbf{0}$ 对任意变量 $x$ ,函数取值均为正,先从 0 增加到 $+\mathrm{\infty },x=$ $-\frac{b}{2a}=x_0$ 为间断点 (极点), $\underset{x\to x_0}{lim}y=+\mathrm{\infty }$ ,接着再由 $+\mathrm{\infty }$ 减少到 0 (图 2.19(b)).

情形 $\mathbf{c})\mathbf{\Delta }<\mathbf{0}$ 函数值 $y$ 先由 0 增加 $+\mathrm{\infty }$ ,在间断点跳跃到 $-\mathrm{\infty }$ ,然后递增取得极大值,接着又减小到 $-\mathrm{\infty }$ ; 在另一个间断点跳跃到 $+\mathrm{\infty }$ ,继而又减小到 0 . 曲线的极值点为 $A\left(-\frac{b}{2a},\frac{4a}{\mathrm{\Delta }}\right)$ ,间断点为 $x=\frac{-b\pm \sqrt{-\mathrm{\Delta }}}{2a}$ (图 2.19(c)).