2.14.4 圆的渐伸线

把一条细绳绕在一个定圆上, 拉开绳子的一端并拉直, 绳子端点的轨迹是一条曲线,满足 $\stackrel{⏜}{AB}=\overline{BP}$ ,这条曲线称作圆的渐伸线(图 2.76). 圆的渐伸线的参数方程为

$$\begin{array}{}\text{(2.250)}& x=a\cos \phi +a\phi \sin \phi ,y=a\sin \phi -a\phi \cos \phi ,\end{array}$$

其中 $a$ 为圆的半径, $\phi =\nless BOx$ . 曲线在关于 $x$ 轴对称的位置有两个分支, $A\left(a,0\right)$ 为尖点,与 $x$ 轴的交点坐标 $x=\frac{a}{\cos {\phi }_0}$ ,其中 ${\phi }_0$ 为方程 $\tan \phi =\phi$ 的根. $\stackrel{⏜}{AP}$ 的弧长 $L=\frac{1}{2}a{\phi }^2$ . 曲率半径 $r=a\phi =\sqrt{2aL}$ ; 曲率中心 $B$ 在圆上,即圆是曲线的渐屈线.