15.1.3 逆变换

一个变换的逆变换给出原函数,这在应用中特别重要. 使用符号 ${\mathcal{T}}^{-1}$ ,( 的逆积分变换为

$$\begin{array}{}\text{(15.2a)}& f\left(t\right)={\mathcal{T}}^{-1}\{F\left(p\right)\}.\end{array}$$

算子 ${\mathcal{T}}^{-1}$ 称为 $\mathcal{T}$ 的逆算子,故

$$\begin{array}{}\text{(15.2b)}& {\mathcal{T}}^{-1}\{\mathcal{T}\{f\left(t\right)\}\}=f\left(t\right).\end{array}$$

变换	核 $K\left(p,t\right)$	符号	注
拉普拉斯变换	$\{\begin{array}{ll}0,& t<0\\ {\mathrm{e}}^{-pt},& t>0\end{array}$	$\mathcal{L}\{f\left(t\right)\}={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{-pt}f\left(t\right)\mathrm{d}t$	$p=\sigma +\mathrm{i}\omega$
双侧拉普拉斯变换	${\mathrm{e}}^{-pt}$	${\mathcal{L}}_{\mathrm{II}}\{f\left(t\right)\}={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{-pt}f\left(t\right)\mathrm{d}t$	${\mathcal{L}}_{\text{II }}\{f\left(t\right)1\left(t\right)\}=\mathcal{L}\{f\left(t\right)\}$ 其中 $1\left(t\right)=\{\begin{array}{ll}0,& t<0\\ 1,& t>0\end{array}$
有限拉普拉斯变换	$\{\begin{array}{ll}0,& t<0\\ {\mathrm{e}}^{-pt},& 0<t<a\\ 0,& t>a\end{array}$	${\mathcal{L}}_a\{f\left(t\right)\}={\int }_0^a{\mathrm{e}}^{-pt}f\left(t\right)\mathrm{d}t$
拉普拉斯–卡森变换	$\{\begin{array}{ll}0,& t<0\\ p{\mathrm{e}}^{-pt},& t>0\end{array}$	$\mathcal{C}\{f\left(t\right)\}={\int }_0^{\mathrm{\infty }}p{\mathrm{e}}^{-pt}f\left(t\right)\mathrm{d}t$	卡森变换也可以是双侧变换和有限变换
傅里叶变换	${\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\omega t}$	$\mathcal{F}\{f\left(t\right)\}={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\omega t}f\left(t\right)\mathrm{d}t$	$p=\sigma +\mathrm{i}\omega ,\sigma =0$
单侧傅里叶变换	$\{\begin{array}{ll}0,& t<0\\ {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\omega t},& t>0\end{array}$	${\mathcal{F}}_1\{f\left(t\right)\}={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\omega t}f\left(t\right)\mathrm{d}t$	$p=\sigma +\mathrm{i}\omega ,\sigma =0$
变换	核 $K\left(p,t\right)$	符号	注
有限傅里叶变换	$\{\begin{array}{ll}0,& t<0\\ {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\omega t},& 0<t<a\\ 0,& t>a\end{array}$	${\mathcal{F}}_a\{f\left(t\right)\}={\int }_0^a{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\omega t}f\left(t\right)\mathrm{d}t$	$p=\sigma +\mathrm{i}\omega ,\sigma =0$
傅里叶余弦变换	$\{\begin{array}{ll}0,& t<0\\ \mathrm{Re}\left[{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\omega t}\right],& t>0\end{array}$	${\mathcal{F}}_c\{f\left(t\right)\}={\int }_0^{\mathrm{\infty }}f\left(t\right)\cos \omega t\mathrm{d}t$	$p=\sigma +\mathrm{i}\omega ,\sigma =0$
傅里叶正弦变换	$\{\begin{array}{ll}0,& t<0\\ \mathrm{Im}\left[{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\omega t}\right],& t>0\end{array}$	${\mathcal{F}}_s\{f\left(t\right)\}={\int }_0^{\mathrm{\infty }}f\left(t\right)\sin \omega t\mathrm{d}t$	$p=\sigma +\mathrm{i}\omega ,\sigma =0$
梅林变换	$\{\begin{array}{ll}0,& t<0\\ t^{p-1},& t>0\end{array}$	$\mathcal{M}\{f\left(t\right)\}={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{t}^{p-1}f\left(t\right)\mathrm{d}t$
$v$ 阶汉克尔变换	$\{\begin{array}{ll}0,& t<0\\ t{J}_v\left(\sigma t\right),& t>0\end{array}$	${\mathcal{H}}_v\{f\left(t\right)\}={\int }_0^{\mathrm{\infty }}t{J}_v\left(\sigma t\right)f\left(t\right)\mathrm{d}t$	$p=\sigma +\mathrm{i}\omega ,\omega =0$ $J_v\left(\sigma t\right)$ 是 $v$ 阶第一类贝塞尔函数
斯蒂尔切斯变换	$\{\begin{array}{ll}0,& t<0\\ \frac{1}{p+t},& t>0\end{array}$	$\mathcal{S}\{f\left(t\right)\}={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{f\left(t\right)}{p+t}\mathrm{d}t$

续表

计算逆变换即指求解积分方程 (15.1a),其中函数 $F\left(p\right)$ 已知,函数 $f\left(t\right)$ 待定. 若方程只有一个解, 则可记作形式

$$\begin{array}{}\text{(15.2c)}& f\left(t\right)={\mathcal{T}}^{-1}\{F\left(p\right)\}.\end{array}$$

对于不同的积分变换,如对于不同的核 $K\left(p,t\right)$ ,其逆算子的显式确定是积分变换理论的基本问题. 读者可根据相应表格 (参见第 1431 页表 21.13, 第 1436 页表 21.14 和第 1454 页表 21.15) 中所给出的变换和原函数之间的对应关系去解决实际问题.