12.7.1 赋范空间的紧子集

赋范空间 $X$ 的子集 $A$ 称作

• 紧的,是指 $A$ 的每个序列都含有一收敛子序列,且其极限在 $A$ 中.

• 相对紧的,或预紧的,是指其闭包是紧的,即 $A$ 的每个序列都含有一收敛子序列 (其极限不必属于 $A$ ).

在实微积分中这就是 ${\mathbb{R}}^n$ 中有界序列的波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理,并且就说这样的集合具有波尔查诺-魏尔斯特拉斯性质.

每个紧集都是闭且有界的. 反之,若空间 $X$ 是有穷维的,则每个这样的集合是紧的. 赋范空间中的单位球是紧集,当且仅当 $X$ 是有穷维空间.

---

① 通常称自伴算子 $T$ 是非负的,是指 $\left(Tx,x\right)\ge 0$ ; 称为正的,是指其非负,并且 $\left(Tx,x\right)=$ 0 当且仅当 $x=0$ 时成立; 称为正定的,是指存在正数 $\gamma >0$ 使得 $\left(Tx,x\right)\ge \gamma \parallel x{\parallel }^2$ . - 译者注

---

至于距离空间 (关于 $\epsilon$ 网存在性的豪斯多夫定理)、空间 $\mathbf{c},\mathcal{C}$ (阿尔泽拉-阿斯科利定理),以及空间 $L^p\left(1<p<\mathrm{\infty }\right)$ 中相对紧集的某些刻画,见 [12.18].