12.5.7 第二伴随空间和自反空间

如果赋范空间 $X$ 的伴随空间 $X^{\ast }$ 赋以范数 $\parallel f\parallel =\underset{\parallel x\parallel \le 1}{sup}\left|f\left(x\right)\right|$ ,则 $X^{\ast }$ 也是一个赋范空间. 从而也可以考虑 $X$ 的第二伴随空间,即 ${\left(X^{\ast }\right)}^{\ast }=X^{\ast \ast }$ . 标准的嵌入映射

$$\begin{array}{}\text{(12.176)}& JX\to X^{\ast \ast },\text{ 其中 }Jx=F_x,F_x\left(f\right)=f\left(x\right),\mathrm{\forall }f\in X^{\ast }\end{array}$$

是一个等距同构 (参见第 874 页 12.3.1),由此 $X$ 等同于 $X^{\ast \ast }$ 的子集 $J\left(X\right)\subset X^{\ast \ast }$ . 巴拿赫空间称作自反的,是指 $J\left(X\right)=X^{\ast \ast }$ . 由此可知标准嵌入映射是一个满射的范数等距同构.

• 每个有穷维巴拿赫空间和每个希尔伯特空间,以及空间 $L^p\left(1\le p<\mathrm{\infty }\right)$ 都是自反的,而 $\mathcal{C}\left(\left[a,b\right]\right),L^1\left(\left[0,1\right]\right),{\mathbf{c}}_0$ 则是非自反空间的例子.