2.11.5 环索线

设 $P_1,P_2$ 是以 $A$ ( $A$ 在 $x$ 轴的负半轴) 为起点且满足

$$\begin{array}{}\text{(2.230)}& \overline{M{P}_1}=\overline{M{P}_2}=\overline{OM}\end{array}$$

的任意射线上的点,其中 $M$ 为射线与 $y$ 轴的交点,则称点 $P_1,P_2$ 的轨迹为环索线(图 2.61). 环索线的笛卡儿方程、极坐标方程和参数方程分别为

$$\begin{array}{}\text{(2.231a)}& y^2=x^2\left(\frac{a+x}{a-x}\right)\left(a>0\right),\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(2.231b)}& \rho =-a\frac{\cos 2\phi }{\cos \phi }\left(a>0\right),\end{array}$$

$x=a\frac{t^2-1}{t^2+1},y=at\frac{t^2-1}{t^2+1}$ ,其中 $t=\tan \ll POx\left(a>0,-\mathrm{\infty }<t<\mathrm{\infty }\right).$(2.231c)

原点为二重点,此处切线方程为 $y=\pm x$ . 函数渐近线方程为 $x=a$ ,顶点为 $A(-a$ , $0)$ . 环部面积 $S_1=2a^2-\frac{1}{2}\pi a^2$ ,曲线与渐近线围成的面积 $S_2=2a^2+\frac{1}{2}\pi a^2$ .