17.2.7 由时间序列重新构造的动力系统

17.2.7.1 基础, 重构的基本性质

1. 测度函数、时间序列

考虑由映射 $\phi \in {\mathrm{Diff}}_{+}^1\left(U\right)$ (参见第 1138 页 17.1.4.2) 或向量场 $f\in X_{+}^1\left(U\right)$ (参见第 1137 页 17.1.4.1) 生成的系统 ${\left\{{\phi }^t\right\}}_{t\in \mathrm{\Gamma }}$ ,其中 $\mathrm{\Gamma }\in \left\{{\mathbb{Z}}_{+},{\mathbb{R}}_{+}\right\}$ . 我们需要一个 $C^1$ 函数 $h$ (称其为测量函数)来重新构造系统. 由于实际中得到的是离散时间尺寸,我们将依照固定时间间隔 $\{k\tau ,k=1,2,\cdots \}\subset \mathrm{\Gamma },\tau >0$ 来选取时间序列. 对 $m\in \mathbb{N}$ 及 $\kappa \in \{-1,1\}$ ,固定时间步长为 $\tau >0$ 的阶为 $m$ 的时间序列

$$\begin{array}{}\text{(17.61)}& {\{h\left({\phi }^{k\tau \left(p\right)}\right),h\left({\phi }^{\left(k+\kappa \right)\tau \left(p\right)}\right),\cdots ,h\left({\phi }^{\left(k+\left(m-1\right)\kappa \right)\tau \left(p\right)}\right)\}}_{k=m-1}^{\mathrm{\infty }}\end{array}$$

称为轨道 ${\left\{{\phi }^t\left(p\right)\right\}}_{t\in \mathrm{\Gamma }},p\in U$ 的基于测量函数 $h$ 的逆向 $\left(\kappa =-1\right)$ 或正向 $\left(\kappa =1\right)$ 坐标.

2. 浸入, 嵌入与惠特尼定理

设 $U\subset {\mathbb{R}}^n$ 是一个开集合. 如果对任意 $u\in U,C^1$ 映射 $\mathrm{\Phi }:U\to {\mathbb{R}}^m$ 的雅可比矩阵 $D\varphi \left(u\right)$ 的秩为 $n$ ,则称 $\mathrm{\Phi }$ 为浸入. 如果浸入 $\mathrm{\Phi }:U\to {\mathbb{R}}^n$ 还是 $U$ 到 $\mathrm{\Phi }\left(U\right)$ 的一个同胚 (其中赋予 $\mathrm{\Phi }\left(U\right){\mathbb{R}}^n$ 的子空间拓扑),则称 $\mathrm{\Phi }$ 为嵌入.

惠特尼 (Whitney) 定理告诉我们对有界开集 $U\subset {\mathbb{R}}^n$ 及 $m\ge 2n+1$ ,由所有嵌入 $\mathrm{\Phi }:U\to {\mathbb{R}}^m$ 构成的集合是 $U\to {\mathbb{R}}^m$ 的全体 $C^1$ 映射构成集合的开稠子集. 因此,对 $m\ge 2n+1$ ,通有意义下 $\mathrm{\Phi }$ 是一个嵌入.

3. 塔肯 (Takens) 及库普卡-阿迈勒 (Kupka-Smale) 重构定理

给定集合 ${\mathrm{Diff}}_{+}^1\left(U\right)$ 及任意自然数 $m\ge 2n+1$ ,考虑所有使得 (前向坐标下) 重构映射

$$\begin{array}{}\text{(17.62)}& p\in U\mapsto {\mathrm{\Phi }}_{\phi ,h}\left(p\right)=\left(h\left(p\right),h\left({\phi }^1\left(p\right)\right),\cdots ,h\left({\phi }^{m-1}\left(p\right)\right)\right)\end{array}$$

为嵌入的配对 $\left(\phi ,h\right)\in {\mathrm{Diff}}_{+}^1\left(U\right)\times C^1\left(U,\mathbb{R}\right)$ 构成的集合,该集合为 ${\mathrm{Diff}}_{+}^1\left(U\right)\times$ $C^1\left(U,\mathbb{R}\right)$ 的开稠子集. 因此,对 $m\ge 2n+1,{\mathrm{\Phi }}_{\phi ,h}$ 为嵌入是一个通有性质, $m$ 称为嵌入维数(见塔肯定理 [17.13]). 塔肯定理对取自 $X_{+}^1\left(U\right)$ 的微分方程也同样适用: 若 $m\ge 2n+1$ 为任意自然数,则所有使得 (前向坐标下) 重构映射

$$\begin{array}{}\text{(17.63)}& p\in U\mapsto {\mathrm{\Phi }}_{f,h}\left(p\right)=\left(h\left(p\right),h\left({\phi }^1\left(p\right)\right),\cdots ,h\left({\phi }^{m-1}\left(p\right)\right)\right)\end{array}$$

为嵌入的配对 $\left(f,h\right)\in X_{+}^1\left(U\right)\times C^1\left(U,\mathbb{R}\right)$ 构成 $X_{+}^1\left(U\right)\times C^1\left(U,\mathbb{R}\right)$ 的开稠子集,从而 ${\mathrm{\Phi }}_{\phi ,h}$ 为嵌入是一个通有性质.

$◼$ 给定区间 $\left(-1-\epsilon ,1+\epsilon \right)\left(\epsilon >0\text{,充分小}\right)$ 上微分方程 $\dot{x}=-x\equiv f\left(x\right)$ . 由于 $f$ 连续可微且 $f\left(-1\right)=1>0$ 及 $f\left(1\right)=-1$ ,显然有 $f\in X_{+}^1\left(U\right),U=\left(-1,1\right)$ ,从该方程显示解 ${\phi }^t\left(x\right)=x{\mathrm{e}}^{-t}\left(t\ge 0,x\in U\right)$ 也可看出这一点. 塔肯定理告诉我们对 $m\ge 3$ 及连续可微测量函数 $h:\left(-1,1\right)\to \mathbb{R}$ ,通有意义下,重构函数 ${\mathrm{\Phi }}_{f,h}$ 是一个嵌入. 例如对测量函数 $h_1\left(x\right)=x$ ,映射 $x\in \left(-1,1\right)\mapsto {\mathrm{\Phi }}_{f,h_1}\left(x\right)=\left(x,x{\mathrm{e}}^{-1},x{\mathrm{e}}^{-1}\right)$ 显然是 ${\mathbb{R}}^3$ 上一个嵌入. 然而对测量函数 $h:\left(-1,1\right)\to \mathbb{R}$ ,重构函数 $x\in \left(-1,1\right)\mapsto$ ${\mathrm{\Phi }}_{f,h_2}\left(x\right)=\left(x^2,x^2{\mathrm{e}}^{-2},x^2{\mathrm{e}}^{-4}\right)$ 不是单射,因而不是一个嵌入.

塔肯重构定理的基础是库普卡-阿迈勒定理: 周期点双曲且任意周期点的稳定与不稳定流形横截相交的微分同胚 $\phi \in {\mathrm{Diff}}_{+}^1\left(U\right)$ 构成贝尔第二纲集,即满足这样条件的微分同胚在 ${\mathrm{Diff}}_{+}^1\left(U\right)$ 中是典型的. 条件 $m\ge 2n+1$ 来自于如下事实: 对典型的 $\left(\phi ,h\right)\in {\mathrm{Diff}}_{+}^1\left(U\right)\times C^1\left(U,\mathbb{R}\right)$ ,映射 ${\mathrm{\Phi }}_{\phi ,h}$ 在周期点邻域中是一个浸入,从而可以延拓成整个 $U$ 上的一个嵌入.

4. 重构空间上的动力系统

塔肯定理蕴含对通有的 $\left(\phi ,h\right)\in {\mathrm{Diff}}_{+}^1\left(U\right)\times C^1\left(U,\mathbb{R}\right)$ ,对 $\mathrm{\Phi }={\mathrm{\Phi }}_{\phi ,h}$ ,集合 $\mathrm{\Phi }\left(U\right)$ (重构空间) 是一个浸入的同胚像,且可在 $\mathrm{\Phi }\left(U\right)$ 上定义 $\psi =\mathrm{\Phi }\circ \phi \circ {\mathrm{\Phi }}^{-1}$ . 定义在 $U$ 上的 (未知系统) ${\left\{{\phi }^k\right\}}_{k\in {\mathbb{Z}}_{+}}$ 及 $\mathrm{\Phi }\left(U\right)$ 上的 (未知) 系统 ${\left\{{\psi }^k\right\}}_{k\in {\mathbb{Z}}_{+}}$ 的平衡点和周期轨道的拓扑性质与相应雅可比矩阵的特征值相同. 类似地, 熵与维数 (如相关维数 (参见第 1158 页 17.2.7.2)), 可由相应不变测度的李雅普诺夫指数决定. $\mathrm{\Phi }\left(U\right)$ 上的映射 $\psi$ 完全被所给定的时间序列对应的点描述. 例如选取 $\tau =1$ , 令 $x_k=\left(h\left({\phi }^k\left(p\right)\right),\cdots ,h\left({\phi }^{k+m-1}\left(p\right)\right)\right)\in {\mathbb{R}}^m,k\in {\mathbb{Z}}_{+}$ . 显然 $x_k=\mathrm{\Phi }\left(q_k\right)$ ,其中 $q_k={\phi }^k\left(p\right)$ ,则 $\psi \left(x_k\right)=\left(\mathrm{\Phi }\circ \phi \circ {\mathrm{\Phi }}^{-1}\right)\left(\mathrm{\Phi }\left(q_k\right)\right)=x_{k+1}$ ,即 $\psi \left(h\left(q_k\right),\cdots ,h\left(q_{k+m-1}\right)\right)=$ $(h(q_{k+1},h\left(q_{k+2},\cdots ,h\left(q_{k+m}\right)\right)$ . 由定义在 $\mathrm{\Phi }\left(U\right)$ 上的轨道 $\psi \left(\mathrm{\Gamma }={\mathbb{Z}}_{+}\right)$ 的测量可以得到整个 $U$ 上的动力系统 $\phi$ .

17.2.7.2 具有普遍性质的重构

1. 通有度量的普遍性

普遍或通有的度量是有限空间上 “勒贝格-几乎处处” 这一共知的概念 (参见第 905 页 12.9.1,2) 在无穷维空间上的延展, 它不同于集合中相应的第二贝尔纲集的概念. 巴拿赫空间 B 中博雷尔集合 $S$ 称为普遍的 (见 [17.23]),如果存在支撑为 $K$ 的有限博雷尔测度 $\mu$ 满足对任意 $x\in B,\mu \left(S+x\right)=\mu \left(S\right)=\mu \left(K\right)$ .

$◼\mathbf{A}$ : 有限维向量空间的补集测度为 0 的博雷尔子集都是普遍的.

$◼\mathbf{B}$ : 有限多个普遍集合的交与并都是普遍的.

$◼\mathbf{C}$ : 设 $C^k\left(\overline{U},\mathbb{R}\right),U\subset {\mathbb{R}}^n$ 表示 $\overline{U}$ 上有 $k$ 阶连续导数的数值函数构成的巴拿赫空间. 如果 $U\subset {\mathbb{R}}^n$ 是开的连通集合,则 $C^k\left(\overline{U},\mathbb{R}\right)$ 中的普遍子集在该空间中稠密.

2. 绍尔-约克-卡斯达格利 (Sauer-Yorke-Casdagli) 重构定理

设 ${\left\{{\phi }^t\right\}}_{t\ge 0}$ 是由向量场 $f\in X_{+}^1$ (参见第 1137 页 17.1.4.1) 生成的连续动力系统, $A$ 为 $U$ 的一个紧子集,其分形维数为 ${\overline{d}}_{\mathrm{C}}\left(A\right)=d$ . 进一步地,令 $m>2d$ 为任意整数,任取 $\tau >0$ ,过程 ${\left\{{\phi }^t\right\}}_{t\ge 0}$ 限制在 $A$ 上至多有有限个平衡点,无周期为 $\tau$ 或 $2\tau$ 的周期轨,只有有限多个周期互不相同的周期为 $3\tau ,4\tau ,\cdots ,m\tau$ 的周期轨道. 如果重构函数 ${\mathrm{\Phi }}_{f,h,\tau }$

$$\begin{array}{}\text{(17.64)}& p\in U\mapsto {\mathrm{\Phi }}_{f,h,\tau }=\left(h\left({\phi }^{\left(m-1\right)\tau \left(p\right)}\right),h\left({\phi }^{\left(m-2\right)\tau \left(p\right)}\right),\cdots ,h\left(p\right)\right)\end{array}$$

满足如下条件:

**a) ${\mathrm{\Phi }\ast \ast }_{f,h,\tau }$ 在 $A$ 上为单射.

b) 对每个子集 $\tilde{U}\subset A$ 满足 $\tilde{U}=\mathrm{\Psi }\left(W\right)$ ,其中 $W=G\cap {\mathbb{R}}^k\times \left\{\underset{n-k}{\underbrace{1,\cdots ,1}}\right\},G\subset {\mathbb{R}}^n$ 为开集, $\mathrm{\Psi }:G\to {\mathbb{R}}^n$ 为一个 $C^1$ 映射且 $k\le d$ ,都有 ${\mathrm{\Phi }}_{f,h,\tau }$ 在 $\tilde{U}$ 上是一个浸入. 那么所有测量函数 $h:U\to \mathbb{R}$ 构成的集合是 $C^1\left(\overline{U},\mathbb{R}\right)$ 的一个普遍集 (绍尔-约克-卡斯达格利定理, 见 [17.23]).

3. 相关维数的估计

设系统 ${\left\{{\phi }^t\right\}}_{t\in \mathrm{\Gamma }},\mathrm{\Gamma }\in \left\{{\mathbb{Z}}_{+},{\mathbb{R}}_{+}\right\}$ ,由 $\phi \in {\mathrm{Diff}}_{+}^1\left(U\right)$ 或 $f\in X_{+}^1\left(U\right)$ 生成, ${\left\{{\phi }^t\right\}}_{t\in \mathrm{\Gamma }}$ 在 $U$ 中有一个吸引子 $\mathrm{\Lambda }$ 及一个不变的概率测度 $\mu ,h:U\to \mathbb{R}$ 为一个测量函数, $m\in \mathbb{N}$ 为阶数参数, $\tau =1$ 为单位步长时间,对 $i=1,2,\cdots$ ,定义

$$\begin{array}{}\text{(17.65)}& x_i=\left(y_i,y_{i+1},\cdots ,y_{i+m}\right)\in {\mathbb{R}}^{m+1}\end{array}$$

其中 $y_i=h\left({\phi }^i\left(p\right)\right)$ 为轨道 ${\left\{{\phi }^t\right\}}_{t\in \mathrm{\Gamma }}$ 在 $p\in U$ 的 $m+1$ 阶时间序列的正向迭代坐标. 定义向量 $x_i$ 和 $x_j$ 的距离 $\mathrm{dist}\left(x_i,x_j\right)=\underset{0\le s\le m}{max}\left|y_{i+s}-y_{j+s}\right|$ . 设自然数 $N>m$ , 实数 $\epsilon >0$ ,称

$$\begin{array}{}\text{(17.66)}& C^m\left(\phi \right)=\underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim sup}\frac{1}{N^2}\mathrm{♯}\left\{\left(x_i,x_j\right):i,j\in \{1,\cdots ,N\},\mathrm{dist}\left(x_i,x_j\right)<\epsilon \right\}\end{array}$$

为 (离散的)(关于 $m$ 和 $\epsilon$ ) 的相关积分. 如果极限 $d_{\mathrm{K}}\left(m\right)=\underset{\epsilon \to 0}{lim}\frac{\ln C^m\left(\epsilon \right)}{\ln \epsilon }$ 存在, 则其为相关维数 $d_{\mathrm{K}}$ 的一个估计. 塔肯定理蕴含对 $m\ge 2n,h\in C^1\left(\overline{U},\mathbb{R}\right)$ 是通有的,绍尔-约克-卡斯达格利定理蕴含对 $m+1\ge d_{\mathrm{C}}\left(\mathrm{\Lambda }\right)$ ,在逆向时间坐标下 $h$ 是通有的.

$◼$洛伦茨系统 (17.2) (参见第 1118 页 17.1.1.1,2.) 属于 $X_{+}^1\left(U\right)$ ,其中 $U=$ $\left\{\left(x,y,z\right)\in {\mathbb{R}}^3:\frac{1}{2}\left[x^2+y^2+{(z-\sigma -r)}^2\right]<c\right\}\left(c>0\text{,充分大}\right)$ . 显然,洛伦茨吸引子 $\mathrm{\Lambda }\left(\sigma =10,b=8/3,r=28\right)$ 落于 $U$ 中. 由杜阿迪-厄斯特勒定理 (参见第 1152 页 17.2.4.3) 可以得到上界估计 $d_{\mathrm{H}}\left(\mathrm{\Lambda }\right)\le 2.421$ . 由数值积分的盒计算方法可得 $d_{\mathrm{H}}\left(\mathrm{\Lambda }\right)\approx 2.06$ . 对逆向迭代下的时间序列 $\left(\tau \approx 0.12\right)$ 应用嵌入方法可以给出洛伦茨吸引子上自然测度的相关维数估计 $d_K\approx 2.03$ (格拉斯贝格 (Grassberger),[17.12]).