9.2.1 一阶偏微分方程

9.2.1.1 一阶线性偏微分方程

1. 线性和拟线性偏微分方程

方程

$$\begin{array}{}\text{(9.71a)}& X_1\frac{\partial z}{\partial x_1}+X_2\frac{\partial z}{\partial x_2}+\cdots +X_n\frac{\partial z}{\partial x_n}=Y\end{array}$$

被称为一阶线性偏微分方程 (linear first-order partial differential equation). 这里 $z$ 是自变量 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$ 的一个未知函数, $X_1,X_2,\cdots ,X_n,Y$ 是这些变量的给定的函数. 如果函数 $X_1,X_2,\cdots ,X_n,Y$ 也依赖于 $z$ ,则方程被称为拟线性偏微分方程 (quasilinear partial differential equation). 当

$$\begin{array}{}\text{(9.71b)}& Y\equiv 0\end{array}$$

时, 方程被称为齐次的.

2. 线性齐次偏微分方程的解

线性齐次偏微分方程的解与所谓的特征组 (characteristic system)

$$\begin{array}{}\text{(9.72a)}& \frac{\mathrm{d}{x}_1}{X_1}=\frac{\mathrm{d}{x}_2}{X_2}=\cdots =\frac{\mathrm{d}{x}_n}{X_n}\end{array}$$

的解是等价的. 可以用两种方法解这个组:

(1) 可以把使得 $X_k\ne 0$ 的任何 $x_k$ 取为自变量,因而组 (9.72a) 可以被变化为形式

$$\begin{array}{}\text{(9.72b)}& \frac{\mathrm{d}{x}_j}{\mathrm{d}{x}_k}=\frac{X_j}{X_k}\left(j=1,\cdots ,n\right).\end{array}$$

(2) 一个更方便的方法是保持对称性并引进一个新变量 $t$ ,得到

$$\begin{array}{}\text{(9.72c)}& \frac{\mathrm{d}{x}_j}{\mathrm{d}t}=X_j\left(j=1,2,\cdots ,n\right).\end{array}$$

方程组 (9.72a) 的每个首次积分都是线性齐次偏微分方程 (9.72a, b) 的解, 并且反之, (9.72a, b) 的每个解都是 (9.72a) 的首次积分 (参见第 729 页 9.1.2.1, 2.). 如果 $n-1$ 个首次积分

$$\begin{array}{}\text{(9.72d)}& {\phi }_i\left(x_1,\cdots ,x_n\right)=0\left(i=1,2,\cdots ,n-1\right)\end{array}$$

是无关的 (参见第 732 页 9.1.2.3, 2.), 则通解是

$$\begin{array}{}\text{(9.72e)}& z=\mathrm{\Phi }\left({\phi }_1,\cdots ,{\phi }_{n-1}\right).\end{array}$$

这里 $\mathrm{\Phi }$ 是 $n-1$ 个变元 ${\phi }_i$ 的一个任意函数,并且是线性齐次微分方程的一个通解.

3. 非齐次线性和拟线性偏微分方程的解

为了解一个非齐次线性和拟线性偏微分方程 (9.71a), 可以尝试发现隐形式 $V\left(x_1,\cdots ,x_n,z\right)=C$ 的解 $z$ . 函数 $V$ 是 $n+1$ 个自变量的线性齐次微分方程

$$\begin{array}{}\text{(9.73a)}& X_1\frac{\partial V}{\partial x_1}+X_2\frac{\partial V}{\partial x_2}+\cdots +X_n\frac{\partial V}{\partial x_n}+Y\frac{\partial V}{\partial z}=0\end{array}$$

的一个解, 该方程的特征组

$$\begin{array}{}\text{(9.73b)}& \frac{\mathrm{d}{x}_1}{X_1}=\frac{\mathrm{d}{x}_2}{X_2}=\cdots =\frac{\mathrm{d}{x}_n}{X_n}=\frac{\mathrm{d}z}{Y}\end{array}$$

被称为原始方程 (9.71a) 的特征组 (characteristic system of the original equation (9.71a)).

4. 组的几何表示和特征

在两个自变量 $x_1=x$ 和 $x_2=y$ 的方程

$$\begin{array}{}\text{(9.74a)}& P\left(x,y,z\right)\frac{\partial z}{\partial x}+Q\left(x,y,z\right)\frac{\partial z}{\partial y}=R\left(x,y,z\right)\end{array}$$

的情形,一个解 $z=f\left(x,y\right)$ 是 $x,y,z$ 空间中的一个曲面,因而它被称为该微分方程的积分曲面 (integral surface). 方程 (9.74a) 意味着,在积分曲面 $z=f\left(x,y\right)$ 的每个点处,法向量 $\left(\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y},-1\right)$ 垂直于该点处给出的向量(P, Q, R). 因而组(9.73b)

就有形式

$$\begin{array}{}\text{(9.74b)}& \frac{\mathrm{d}x}{P\left(x,y,z\right)}=\frac{\mathrm{d}y}{Q\left(x,y,z\right)}=\frac{\mathrm{d}z}{R\left(x,y,z\right)}.\end{array}$$

即得 (参见第 923 页 13.1.3.5) 这个组的积分曲线 (integral curves of this system), 即所谓的特征 (characteristics),与向量(P, Q, R)相切. 因而,与积分曲面 $z=f\left(x,y\right)$ 有一个公共点的一条特征就完全落在该曲面上. 由于满足存在性定理的条件 (参见第 728 页 9.1.2.1, 1.), 因此过空间的每个点都有特征组的一条积分曲线, 因而积分曲面由特征组成.

5. 柯西问题

给定 $n-1$ 个自变量 $t_1,t_2,\cdots ,t_{n-1}$ 的 $n$ 个函数

$$x_1=x_1\left(t_1,t_2,\cdots ,t_{n-1}\right),x_2=x_2\left(t_1,t_2,\cdots ,t_{n-1}\right),\cdots ,x_n=x_n\left(t_1,t_2,\cdots ,t_{n-1}\right).$$

(9.75a)

微分方程 (9.71a) 的柯西问题是要找到一个解

$$\begin{array}{}\text{(9.75b)}& z=\phi \left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right),\end{array}$$

使得如果把(9.75a)代入其中,则所得结果即为一个事先给定的函数 $\psi (t_1,t_2,\cdots$ , $t_{n-1})$ :

$$\phi \left[x_1\left(t_1,t_2,\cdots ,t_{n-1}\right),x_2\left(t_1,t_2,\cdots ,t_{n-1}\right),\cdots ,x_n\left(t_1,t_2,\cdots ,t_{n-1}\right)\right]$$$$\begin{array}{}\text{(9.75c)}& =\psi \left(t_1,t_2,\cdots ,t_{n-1}\right)\text{.}\end{array}$$

在两个自变量的情形, 问题归结为找一个通过一条给定曲线的积分曲面. 如果这条曲线在某个点处有连续依赖的切线, 并且在任何点处都不与特征相切, 则柯西问题在这条曲线的一个邻域中有一个唯一解. 这里, 积分曲面由与给定曲线相交的所有特征组成. 与柯西问题解的存在性有关的一些定理更多的数学讨论见 [9.26].

$◼\mathbf{A}$: 对于一阶线性非齐次偏微分方程 $\left(mz-ny\right)\frac{\partial z}{\partial x}+\left(nx-lz\right)\frac{\partial z}{\partial y}=ly-mx(l,m$ , $n$ 是常数),其特征方程组为 $\frac{\mathrm{d}x}{mz-ny}=\frac{\mathrm{d}y}{nx-lz}=\frac{\mathrm{d}z}{ly-mx}$ . 该组的积分为 $lx+$ $my+nz=C_1,x^2+y^2+z^2=C_2$ . 圆是其特征,圆心位于通过原点的一条直线上, 该直线的方向余弦与 $l,m,n$ 成比例. 积分曲面是以这条直线为轴的一个旋转曲面.

$◼\mathbf{B}$: 确定一阶线性非齐次微分方程 $\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial y}=z$ 的通过曲线 $x=0,z=\phi \left(y\right)$ 的积分曲面. 特征方程组为 $\frac{\mathrm{d}x}{1}=\frac{\mathrm{d}y}{1}=\frac{\mathrm{d}z}{z}$ . 通过点 $\left(x_0,y_0,z_0\right)$ 的特征是 $y=$ $x-x_0+y_0,z=z_0{\mathrm{e}}^{x-x_0}$ . 如果作置换 $x_0=0,z_0=\phi \left(y_0\right)$ ,则所求积分曲面的参数表达式为 $y=x+y_0,z={\mathrm{e}}^x\phi \left(y_0\right)$ . 消去 $y_0$ 产生 $z={\mathrm{e}}^x\phi \left(y-x\right)$ .

9.2.1.2 一阶非线性偏微分方程

1. 一阶偏微分方程的一般形式是隐方程

$$\begin{array}{}\text{(9.76a)}& F\left(x_1,\cdots ,x_n,z,\frac{\partial z}{\partial x_1},\cdots ,\frac{\partial z}{\partial x_n}\right)=0.\end{array}$$

(1) 完全积分 是依赖于 $n$ 个参数 $a_1,\cdots ,a_n$ 的解

$$\begin{array}{}\text{(9.76b)}& z=\phi \left(x_1,\cdots ,x_n,a_1,\cdots ,a_n\right),\end{array}$$

如果在所考虑的 $x_1,\cdots ,x_n,z$ 的值处函数行列式 (或雅可比行列式,参见第 159 页 $2.18.2.6,3.)$ 非零:

$$\begin{array}{}\text{(9.76c)}& \frac{\partial \left({\phi }_{x_1},\cdots ,{\phi }_{x_n}\right)}{\partial \left(a_1,\cdots ,a_n\right)}\ne 0.\end{array}$$

(2)特征带(9.76a)的解被归结为特征组

$$\begin{array}{}\text{(9.76d)}& \frac{\mathrm{d}{x}_1}{P_1}=\cdots =\frac{\mathrm{d}{x}_n}{P_n}=\frac{\mathrm{d}z}{p_1{P}_1+\cdots +p_n{P}_n}=\frac{-\mathrm{d}{p}_1}{X_1+p_{1}Z}=\cdots =\frac{-\mathrm{d}{p}_n}{X_n+p_{n}Z}\end{array}$$

的解, 其中

$$\begin{array}{}\text{(9.76e)}& Z=\frac{\partial F}{\partial z},X_i=\frac{\partial F}{\partial x_i},p_i=\frac{\partial z}{\partial x_i},P_i=\frac{\partial F}{\partial p_i}\left(i=1,\cdots ,n\right).\end{array}$$

特征组满足附加条件

$$\begin{array}{}\text{(9.76f)}& F\left(x_1,\cdots ,x_n,z,p_1,\cdots ,p_n\right)=0\end{array}$$

的解被称为特征带 (characteristic strips).

2. 典范微分方程组

有时,考虑一个不显式地包含未知函数 $z$ 的方程是比较方便的. 通过引进一个附加的自变量 $x_{n+1}=z$ 和一个用方程

$$\begin{array}{}\text{(9.77a)}& V\left(x_1,\cdots ,x_n,z\right)=C\end{array}$$

来定义函数 $z\left(x_1,\cdots ,x_n\right)$ 的未知函数 $V\left(x_1,\cdots ,x_n,x_{n+1}\right)$ ,可以得到这样一个方程. 同时,在 (9.76a) 中用函数 $-\frac{\partial V}{\partial x_i}/\frac{\partial V}{\partial x_{n+1}}\left(i=1,\cdots ,n\right)$ 替代 $\frac{\partial z}{\partial x_i}$ ,则就对函数 $V$ 的任意偏导数解了方程 (9.76a). 在对其他变量适当重新编号后,相应的自变量将记作 $x$ . 最后,得到形如

$$p+H\left(x_1,\cdots ,x_n,x,p_1,\cdots ,p_n\right)=0,p=\frac{\partial V}{\partial x},p_i=\frac{\partial V}{\partial x_i}\left(i=1,\cdots ,n\right)$$

(9.77b)

的方程 (9.76a). 特征微分方程组被变为

$$\begin{array}{}\text{(9.77c)}& \frac{\mathrm{d}{x}_i}{\mathrm{d}x}=\frac{\partial H}{\partial p_i},\frac{\mathrm{d}{p}_i}{\mathrm{d}x}=-\frac{\partial H}{\partial x_i}\left(i=1,\cdots ,n\right)\end{array}$$

和

$$\begin{array}{}\text{(9.77d)}& \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}x}=p_1\frac{\partial H}{\partial p_1}+\cdots +p_n\frac{\partial H}{\partial p_n}-H,\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x}=-\frac{\partial H}{\partial x}.\end{array}$$

方程组(9.77c)表示 $2n$ 个常微分方程的一个方程组,它相应于 $2n+1$ 个变量的一个任意函数 $H\left(x_1,\cdots ,x_n,x,p_1,\cdots ,p_n\right)$ . 它被称为微分方程的一个典范组 (canonical system), 或一个正规组 (normal system).

力学和理论物理学中的许多问题导致这种形式的方程. 知道了方程 (9.77b) 的一个完全积分

$$\begin{array}{}\text{(9.77e)}& V=\phi \left(x_1,\cdots ,x_n,x,a_1,\cdots ,a_n\right)+a,\end{array}$$

就可以找到典范组(9.77c)的通解,因为 $2n$ 个任意参数 $a_i$ 和 $b_i\left(i=1,\cdots ,n\right)$ 的方程组 $\frac{\partial \phi }{\partial a_i}=b_i,\frac{\partial \phi }{\partial x_i}=p_i\left(i=1,\cdots ,n\right)$ 确定了典范方程组 (9.77c) 的一个 $2n$ 个参数的解.

3. 克莱罗微分方程

当给定的微分方程可以被变化为形如

$$\begin{array}{}\text{(9.78a)}& z=x_1{p}_1+x_2{p}_2+\cdots +x_n{p}_n+f\left(p_1,\cdots ,p_n\right),p_i=\frac{\partial z}{\partial x_i}\left(i=1,\cdots ,n\right)\end{array}$$

的方程时, (9.78a) 被称为一个克莱罗微分方程. 完全积分的确定特别简单, 因为一个具有任意参数 $a_1,\cdots ,a_n$ 的完全积分是

$$\begin{array}{}\text{(9.78b)}& z=a_1{x}_1+a_2{x}_2+\cdots +a_n{x}_n+f\left(a_1,\cdots ,a_n\right).\end{array}$$

• 带哈密顿 (Hamilton) 函数的二体问题 考虑平面中根据牛顿 (Newton) 场 (参见第 950 页 13.4.3.2) 在相互间引力作用下运动的两个粒子. 选取一个粒子的初始位置作为原点, 则运动方程有形式

$$\begin{array}{}\text{(9.79a)}& \frac{{\mathrm{d}}^{2}x}{\mathrm{d}{t}^2}=\frac{\partial V}{\partial x},\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{t}^2}=\frac{\partial V}{\partial y};V=\frac{k^2}{\sqrt{x^2+y^2}}.\end{array}$$

引进哈密顿函数

$$\begin{array}{}\text{(9.79b)}& H=\frac{1}{2}\left(p^2+q^2\right)-\frac{k^2}{\sqrt{x^2+y^2}},\end{array}$$

方程组 (9.79a) 即变化为正规组 (典范微分方程组)

$$\begin{array}{}\text{(9.79c)}& \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial H}{\partial p},\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial H}{\partial q},\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t}=-\frac{\partial H}{\partial x},\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}=-\frac{\partial H}{\partial y},\end{array}$$

其变量为

$$\begin{array}{}\text{(9.79d)}& x,y,p=\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t},q=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}.\end{array}$$

这样, 偏微分方程有形式

$$\begin{array}{}\text{(9.79e)}& \frac{\partial z}{\partial t}+\frac{1}{2}\left[{\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)}^2+{\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)}^2\right]-\frac{k^2}{\sqrt{x^2+y^2}}=0.\end{array}$$

在(9.79e)中引进极坐标 $\rho ,\phi$ ,就得到一个新的微分方程,它有以 $a,b,c$ 为参数的解

$$\begin{array}{}\text{(9.79f)}& z=-at-b\phi +c-{\int }_{{\rho }_0}^{\rho }\sqrt{2a+\frac{2k^2}{r}-\frac{b^2}{r^2}}\mathrm{d}r.\end{array}$$

从方程

$$\begin{array}{}\text{(9.79g)}& \frac{\partial z}{\partial a}=-t_0,\frac{\partial z}{\partial b}=-{\phi }_0,\end{array}$$

即得方程组 (9.79c) 的通解.

4. 两个自变量的一阶微分方程

对于 $x_1=x,x_2=y,p_1=p,p_2=q$ ,可以把特征带 (参见第 757 页 9.2.1.2, 1.) 几何地解释为一条曲线,在曲线的每个点(x, y, z)处,与该曲线相切的一个平面 $p\left(\xi -x\right)+q\left(\eta -y\right)=\zeta -z$ 是预先给定的. 因而,找方程

$$\begin{array}{}\text{(9.80)}& F\left(x,y,z,\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y}\right)=0\end{array}$$

通过一个给定曲线的积分曲面的问题, 即, 解柯西问题 (参见第 756 页 9.2.1.1, 5.), 就变化为另一问题: 求通过初始曲线各点的特征带, 使得每条带相应的切平面与该曲线相切. 从方程 $F\left(x,y,z,p,q\right)=0$ 和 $p\mathrm{d}x+q\mathrm{d}y=\mathrm{d}z$ 得到在初始曲线各点处 $p$ 和 $q$ 的值. 在非线性微分方程的情形可以有多个解.

因而, 为了得到唯一解, 在形成柯西问题时可以假设沿着初始曲线两个连续函数 $p$ 和 $q$ 满足上面的诸关系式.

关于柯西问题解的存在性见 [9.26].

$◼$ 对于偏微分方程 $pq=1$ 和初始曲线 $y=x^3,z=2x^2$ ,可以沿着初始曲线取 $p=x,q=1/x$ . 特征组有形式

$$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=q,\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=p,\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}=2pq,\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t}=0,\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}=0.$$

当 $t=0$ 时有初始值 $x_0,y_0,z_0,p_0$ 和 $q_0$ 的特征带满足诸方程 $x=x_0+q_{0}t,y=$ $y_0+p_{0}t,z=2p_0{q}_{0}t+z_0,p=p_0,q=q_0$ . 对于 $p_0=x_0,q_0=1/x_0$ 的情形,属于通过初始曲线的点 $\left(x_0,y_0,z_0\right)$ 的特征带的曲线的方程为

$$x=x_0+\frac{t}{x_0},y=x_0^3+t{x}_0,z=2t+2x_0^2.$$

消去参数 $x_0$ 和 $t$ ,得到 $z^2=4xy$ . 对于沿着初始曲线 $p$ 和 $q$ 别的取值,可以得到不同的解.

注 单参数积分曲面族的包络也是积分曲面. 考虑到这个事实, 可以用一个完全积分来解柯西问题. 找到与在初始曲线的点处给出的平面相切的解的单参数族, 就可以确定该族的包络.

$◼$ 确定克莱罗微分方程 $z-px-qy+pq=0$ 通过曲线 $y=x,z=x^2$ 的积分曲面. 该微分方程的完全积分是 $z=ax+by-ab$ . 由于沿着初始曲线有 $p=q=x$ ,由条件 $a=b$ 即确定了单参数积分曲面族. 得到该族的包络是 $z=\frac{1}{4}{(x+y)}^2$ .

5. 全微分形式的一阶线性微分方程

这类方程有下述形式

$$\begin{array}{}\text{(9.81a)}& \mathrm{d}z=f_1\mathrm{d}{x}_1+f_2\mathrm{d}{x}_2+\cdots +f_n\mathrm{d}{x}_n,\end{array}$$

其中 $f_1,f_2,\cdots ,f_n$ 是变量 $x_1,x_2,\cdots ,x_n,z$ 的给定的函数. 如果在 $x_1,x_2,\cdots ,x_n,z$ 间存在一个含有一个任意常数的关系, 此关系导致方程 (9.81a), 则该方程被称为完全可积的 (completely integrable), 或恰当微分方程 (exact differential equation). 此时,对于自变量的初值 $x_1^0,x_2^0,\cdots ,x_n^0$ ,方程 (9.81a) 有一个取给定值 $z_0$ 的唯一解 $z=z\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)$ . 因而,对于 $n=2,x_1=x,x_2=y$ ,通过空间的每一点有一个唯一的积分曲面.

微分方程 (9.81a) 是完全可积的 (completely integrable), 当且仅当所有变量 $x_1,x_2,\cdots ,x_n,z$ 的 $\frac{n\left(n-1\right)}{2}$ 个等式

$$\begin{array}{}\text{(9.81b)}& \frac{\partial f_i}{\partial x_k}+f_k\frac{\partial f_i}{\partial z}=\frac{\partial f_k}{\partial x_i}+f_i\frac{\partial f_k}{\partial z}\left(i,k=1,\cdots ,n\right)\end{array}$$

被满足.

如果以对称形式

$$\begin{array}{}\text{(9.81c)}& f_1\mathrm{d}{x}_1+f_2\mathrm{d}{x}_2+\cdots +f_n\mathrm{d}{x}_n=0\end{array}$$

给出微分方程,那么完全可积性的条件是对下标 $i,j,k$ 的所有可能的组合成立

$$\begin{array}{}\text{(9.81d)}& f_i\left(\frac{\partial f_k}{\partial x_j}-\frac{\partial f_j}{\partial x_k}\right)+f_j\left(\frac{\partial f_i}{\partial x_k}-\frac{\partial f_k}{\partial x_i}\right)+f_k\left(\frac{\partial f_j}{\partial x_i}-\frac{\partial f_i}{\partial x_j}\right)=0.\end{array}$$

如果方程是完全可积的,那么微分方程 (9.81a) 的解可以被归结为有 $n-1$ 个参数的一个常微分方程的解.