12.5.6 凸集的分离

1. 超平面

实向量空间 $X$ 的一线性子集 $L\ne X$ 称作过 0 点的超子空间或超平面,是指存在元 $x_0\in X$ 使得 $X=\mathrm{lin}\left(x_0,L\right)$ . 形如 $x+L\left(L\text{为线性子集}\right)$ 的集合是放射线性流形 (参见第 856 页 12.1.2). 如果 $L$ 是一超子空间,则这些流形称作超平面. 超子空间、超平面和线性泛函之间存在如下密切的关系:

a) $X$ 上线性泛函 $f$ 的核 $f^{-1}\left(0\right)=\{x\in X:f\left(x\right)=0\}$ 是 $X$ 中一超子空间, 对于每个数 $\lambda \in \mathbb{R}$ ,存在一元 $x_{\lambda }\in X$ 使得 $f\left(x_{\lambda }\right)=\lambda$ 并且 $f^{-1}\left(\lambda \right)=x_{\lambda }+f^{-1}\left(0\right)$ .

b) 对于任意给定的超子空间 $L\subset X$ 和 $x_0\ne L,\lambda \ne 0\left(\lambda \in \mathbb{R}\right)$ ,总存在 $X$ 上唯一确定的线性泛函 $f$ 使得 $f^{-1}\left(0\right)=L$ ,并且 $f\left(x_0\right)=\lambda$ .

在赋范空间情形, $f^{-1}\left(0\right)$ 的闭性等价于泛函 $f$ 的连续性.

2. 哈恩-巴拿赫延拓定理的几何形式

设 $X$ 是赋范空间, $x_0\in X$ 并且 $L$ 是 $X$ 的一线性子空间. 那么对于每个与放射线性流形 $x_0+L$ 不相交的非空凸开集 $K$ ,必存在一闭的超子空间 $H$ 使得 $x_0+L\subset H$ 并且 $H\cap K=\varnothing$ .

3. 凸集的分离

实赋范空间 $X$ 中的两个子集 $A,B$ 称作被一超平面分离,是指存在一泛函 $f\in$ $X^{\ast }$ 使得

$$\begin{array}{}\text{(12.174)}& \underset{x\in A}{sup}f\left(x\right)\le \underset{y\in B}{inf}f\left(y\right).\end{array}$$

于是若令 $\alpha =\underset{x\in A}{sup}f\left(x\right)$ ,则 $f^{-1}\left(\alpha \right)$ 就给出分离超平面,这意味着两个集合包含在不同的半空间:

$$\begin{array}{}\text{(12.175)}& A\subset \{x\in X:f\left(x\right)\le \alpha \}\text{ 和 }B\subset \{x\in X:f\left(x\right)\ge \alpha \}.\end{array}$$

在图 12.5(b),(c) 中示出了由超平面分离的两种情形. 为了两个集合的分离, 它们是否相交远非是决定性的因素. 事实上,图 12.5(a) 表示两集 $E$ 和 $B$ 没有被分离,尽管 $E$ 和 $B$ 不相交并且 $B$ 是凸集. 两个集合的凸性才是决定它们分离的最本质的要素. 在这种情形下, 两个集合有可能会在分离超平面中含有公共点.

如果 $A$ 是赋范空间 $X$ 中的凸集,具有非空内部 $\mathrm{Int}\left(A\right)$ ,并且 $B\subset X$ 是非空凸集使得 $\mathrm{Int}\left(A\right)\cap B=\varnothing$ ,那么 $A$ 和 $B$ 可以被分离. 在上述命题中,假设 $\mathrm{Int}\left(A\right)\ne \varnothing$ 是无法省略的 (参见 [12.3],例 4.47). 一个 (实线性) 泛函 $f\in X^{\ast }$ 称作集合 $A$ 在点 $x_0$ 的支撑泛函,是指存在一实数 $\lambda \in \mathbb{R}$ 使得 $f\left(x_0\right)=\lambda$ 和 $A\subset \{x\in X:f\left(x\right)\le \lambda \}$ . $f^{-1}\left(\lambda \right)$ 称作点 $x_0$ 处的支撑超平面. 对于具有非空内部的凸集 $K$ ,在其边界上的每一点处都有支撑泛函.

注 著名的库恩-塔克定理 (参见第 1201 页 18.2) 也是基于凸集的分离, 从该定理可导出求解凸优化问题极小值的行之有效的方法.