13.3.3 积分定理

13.3.3.1 高斯积分定理和高斯积分公式

1. 高斯积分定理或散度定理

高斯积分定理 (integral theorem of Gauss) 给出了在一个体积 $v$ 上 $\overrightarrow{V}$ 的散度的体积分与在围住 $v$ 的曲面 $S$ 上的一个面积分之间的关系. 定义 $S$ 的定向,使得其外边是正边. 向量函数 $\overrightarrow{V}$ 是连续的,并且其一阶偏导数存在并连续. 高斯积分定理如下叙述:

$$\begin{array}{}\text{(13.120a)}& {\text{oiint}}_S\overrightarrow{V}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{S}={\iiint }_v\mathrm{div}\overrightarrow{V}\mathrm{d}v\end{array}$$

即场 $\overrightarrow{V}$ 通过一个闭曲面 $S$ 的标量流等于 $\overrightarrow{V}$ 在由 $S$ 所界的体积 $v$ 上散度的积分. 在笛卡儿坐标系中有

$$\begin{array}{}\text{(13.120b)}& {\text{oiint}}_S\left(V_x\mathrm{d}y\mathrm{d}z+V_y\mathrm{d}z\mathrm{d}x+V_z\mathrm{d}x\mathrm{d}y\right)={\iiint }_v\left(\frac{\partial V_x}{\partial x}+\frac{\partial V_y}{\partial y}+\frac{\partial V_z}{\partial z}\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z.\end{array}$$

2. 高斯积分公式

在平面的情形,限制于 $x,y$ 平面的高斯积分定理就变为高斯积分公式 (integral formula of Gauss). 它表示一个线积分与其相应的面积分之间的对应. 高斯积分公式如下叙述:

$$\begin{array}{}\text{(13.121)}& {\iint }_B\left[\frac{\partial Q\left(x,y\right)}{\partial x}-\frac{\partial P\left(x,y\right)}{\partial y}\right]\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\oint }_C\left[P\left(x,y\right)\mathrm{d}x+Q\left(x,y\right)\mathrm{d}y\right].\end{array}$$

$B$ 表示由 $C$ 所界的一个平面区域. $P$ 和 $Q$ 是有一阶连续偏导数的连续函数.

3. 扇形公式

扇形公式 (sector formula) 是高斯积分公式用以计算平面区域面积的一个重要的特殊情形. 对于 $Q=x,P=-y$ ,即得

$$\begin{array}{}\text{(13.122)}& F={\iint }_B\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\frac{1}{2}{\oint }_C\left[x\mathrm{d}y-y\mathrm{d}x\right].\end{array}$$

13.3.3.2 斯托克斯积分定理

斯托克斯积分定理 (integral theorem of Stokes) 给出了在一个定向曲面区域 $S$ (在其上定义了向量场 $\overrightarrow{V}$ ) 的一个曲面积分与沿曲面 $S$ 的边界 $C$ 的积分之间的关系. 选取曲线 $C$ 的指向,使得其与曲面法线形成右旋 (right-screw) (参见第 942 页 13.3.2.1). 向量函数 $\overrightarrow{V}$ 是连续的,并有连续的一阶偏导数. 斯托克斯积分定理如下叙述:

$$\begin{array}{}\text{(13.123a)}& {\iint }_S\mathrm{rot}\overrightarrow{V}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{S}={\oint }_C\overrightarrow{V}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{r}\end{array}$$

即向量场 $\overrightarrow{V}$ 通过由闭曲线 $C$ 所界的曲面 $S$ 的旋度流等于 $\overrightarrow{V}$ 沿曲线 $C$ 的周线积分.

在笛卡儿坐标系中有

$${\iint }_S\left[\left(\frac{\partial V_z}{\partial y}-\frac{\partial V_y}{\partial z}\right)\mathrm{d}y\mathrm{d}z+\left(\frac{\partial V_x}{\partial z}-\frac{\partial V_z}{\partial x}\right)\mathrm{d}z\mathrm{d}x+\left(\frac{\partial V_y}{\partial x}-\frac{\partial V_x}{\partial y}\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\right]$$$$\begin{array}{}\text{(13.123b)}& ={\oint }_C\left(V_x\mathrm{d}x+V_y\mathrm{d}y+V_z\mathrm{d}z\right).\end{array}$$

在平面的情形, 就如高斯积分定理那样, 斯托克斯积分定理也变为高斯积分公式(13.121).

13.3.3.3 格林积分定理

格林积分定理给出了体积分和面积分之间的关系. 它们是格林定理对函数 $\overrightarrow{V}=$ $U_1\mathrm{grad}{U}_2$ 的应用,这里 $U_1$ 和 $U_2$ 是标量场函数, $v$ 是由曲面 $S$ 所围的体积. 下面一些定理成立:

$$\begin{array}{}\text{(13.124)}& \text{(1)}{\iiint }_v\left(U_1△U_2+\mathrm{grad}{U}_2\cdot \mathrm{grad}{U}_1\right)\mathrm{d}v={\text{oiint}}_S{U}_1\mathrm{grad}{U}_2\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{S}\text{,}\end{array}$$

(2) ${\iiint }_v\left(U_1△U_2-U_2△U_1\right)\mathrm{d}v={\text{oiint}}_S\left(U_1\mathrm{grad}{U}_2-U_2\mathrm{grad}{U}_1\right)\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{S}$ .(13.125)

特别地,对于 $U_1=1,U_2=U$ ,有如下结论.

(3)

$$\begin{array}{}\text{(13.126)}& {\iiint }_v\mathrm{\Delta }U\mathrm{d}v={\text{oiint}}_S\mathrm{grad}U\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{S}.\end{array}$$

在笛卡儿坐标系中, 第 3 个格林定理有下述形式 (比较 (13.120b)):

$$\begin{array}{}\text{(13.127)}& {\iiint }_v\left(\frac{{\partial }^{2}U}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}U}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}U}{\partial z^2}\right)\mathrm{d}v={\text{oiint}}_S\left(\frac{\partial U}{\partial x}\mathrm{d}y\mathrm{d}z+\frac{\partial U}{\partial y}\mathrm{d}z\mathrm{d}x+\frac{\partial U}{\partial z}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\right).\end{array}$$

$◼\mathbf{A}$: 计算线积分 $I={\oint }_C\left(x^2{y}^3\mathrm{d}x+\mathrm{d}y+z\mathrm{d}z\right)$ ,其中 $C$ 是圆柱面 $x^2+y^2=a^2$ 与平面 $z=0$ 的交线,是一个圆周. 用斯托克斯定理 (13.123a) 得到: $I={\oint }_C\overrightarrow{V}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{r}=$ ${\iint }_S\mathrm{rot}\overrightarrow{V}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{S}=-{\iint }_{S^{\ast }}3x^2{y}^2\mathrm{d}x\mathrm{d}y=-3{\int }_{\phi =0}^{2\pi }{\int }_{r=0}^a{r}^5{\cos }^2\phi {\sin }^2\phi \mathrm{d}r\mathrm{d}\phi =-\frac{a^6}{8}\pi$ ,其中 $\mathrm{rot}\overrightarrow{V}=-3x^2{y}^2\overrightarrow{k},\mathrm{d}\overrightarrow{S}=\overrightarrow{k}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ ,圆盘 $S^{\ast }:x^2+y^2\le a^2$ .

$◼\mathbf{B}$: 确定漂移空间 $\overrightarrow{V}=x^3\overrightarrow{i}+y^3\overrightarrow{j}+z^3\overrightarrow{k}$ 通过球面 $S:x^2+y^2+z^2=a^2$ 的通量 $I={\oint }_S\overrightarrow{V}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{S}$ . 高斯定理导出: $I={\oint }_S\overrightarrow{V}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{S}={\iiint }_v\mathrm{div}\overrightarrow{V}\mathrm{d}v=3{\iiint }_v(x^2+y^2+$$z^2)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z=3{\int }_{\phi =0}^{2\pi }{\int }_{\vartheta =0}^{\pi }{\int }_{r=0}^a{r}^4\sin \vartheta \mathrm{d}r\mathrm{d}\vartheta \mathrm{d}\phi =\frac{12}{5}{a}^5\pi .$

$◼\mathbf{C}$: 热导方程:一个不包含热源的空间区域 $v$ 的热量随时间的变化由 $\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}=$ ${\iiint }_{c}c\varrho \frac{\partial T}{\partial t}\mathrm{d}v$ ( $c$ 为比热容、 $\varrho$ 为密度、 $T$ 为温度) 给出,同时热流通过 $v$ 的边界曲面 $S$ 相应的依赖于时间的变化由 $\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}={\text{oiint}}_S\lambda \mathrm{grad}T\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{S}\left(\lambda \text{为热导率}\right)$ 给出. 对于面积分 (13.120a) 应用高斯定理,从 ${\iiint }_v\left[c\varrho \frac{\partial T}{\partial t}-\mathrm{div}\left(\lambda \mathrm{grad}T\right)\right]\mathrm{d}v=0$ 推得热导方程 $c\lambda \frac{\partial T}{\partial t}=\mathrm{div}\left(\lambda \mathrm{grad}T\right)$ ,在均匀物体的情形 $\left(c,\varrho ,\lambda \text{均为常数}\right)$ ,热导方程有形式$\frac{\partial T}{\partial t}=a^2\mathrm{\Delta }T$