10.2.2 捷线问题

J. 伯努利在 1696 年提出了如下叙述的捷线问题: 一个质点从 $x,y$ 铅垂面中的点 $P_0\left(x_0,y_0\right)$ 处仅在重力影响下向原点降落. 要确定曲线 $y=y\left(x\right)$ ,使得质点从 $P_0\left(x_0,y_0\right)$ 沿着该曲线到达原点所用时间最短 (图 10.2). 利用下降时间 $T$ 的公式 (参见第 849 页 11.5.1), 下述数学描述可以用来确定一个一次连续可微函数 $y=y\left(x\right)$ ,使得

$$\begin{array}{}\text{(10.9)}& T\left[y\right]={\int }_0^{x_0}\frac{\sqrt{1+y^{\prime 2}}}{\sqrt{2g\left(y_0-y\right)}}\mathrm{d}x=min\end{array}$$

成立 ( $g$ 是重力加速度). 边值条件是

$$\begin{array}{}\text{(10.10)}& y\left(0\right)=0,y\left(x_0\right)=y_0.\end{array}$$

对于 $x=x_0$ ,在 (10.9) 中存在一个奇点.