2.14.1 阿基米德螺线

当射线以固定的角速度 $w$ 绕原点旋转时,一个点从原点沿射线以匀速 $v$ 移动所产生的轨迹称为阿基米德螺线(图 2.73), 阿基米德螺线的极坐标方程为

$$\begin{array}{}\text{(2.247)}& \rho =a\left|\phi \right|,a=\frac{v}{\omega }\left(a>0,-\mathrm{\infty }<\phi <\mathrm{\infty }\right).\end{array}$$

曲线在关于 $y$ 轴对称位置有两个分支 $\left(\phi <0,\phi >0\right)$ . 每条射线 $OK$ 与曲线的交点为 $O,A_1,A_2,\cdots ,A_n,\cdots$ ; 距离 $\overline{A_i{A}_{i+1}}=2\pi a.\stackrel{⏜}{OP}$ 的弧长 $L=\frac{a}{2}(\phi \sqrt{{\phi }^2+1}$ $+\mathrm{Arsinh}\phi )$ ,当 $\phi$ 很大时,表达式 $\frac{2L}{a{\phi }^2}$ 趋于 1 . 区域 $P_{1}O{P}_2$ 的面积 $S=\frac{a^2}{6}({\phi }_2^3-$ ${\phi }_1^3)$ . 曲率半径 $r=a\frac{{({\phi }^2+1)}^{3/2}}{{\phi }^2+2}$ ,原点处曲率半径 $r_0=\frac{a}{2}$ .