13.2.2 一个标量场的梯度

可以用不同的方式来定义标量场的梯度.

13.2.2.1 梯度的定义

一个函数 $U$ 的梯度 (gradient) 是一个向量 $\mathrm{grad}U$ ,它被指定赋予具有标量场 $U=U\left(\overrightarrow{r}\right)$ 的位置向量 $\overrightarrow{r}$ 的每个点 $P$ ,并有下述一些性质:

(1) $\mathrm{grad}U$ 的方向总是垂直于通过所考虑点 $P$ 的等值面 $U=$ 常数 的方向,

(2) $\mathrm{grad}U$ 总是指向函数 $U$ 增加的方向.

(3) $\left|\mathrm{grad}U\right|=\frac{\partial U}{\partial \overrightarrow{n}}$ ,即, $\mathrm{grad}U$ 的大小等于 $U$ 在法向 (normal direction) 的方向导数.

如果用其他方式来定义梯度, 例如作为一个体积导数, 或用微分算子来定义, 那么上面叙述的性质就变成定义的推论了.

13.2.2.2 梯度和方向导数

标量场 $U$ 关于单位向量 ${\overrightarrow{c}}^0$ 的方向导数等于 $\mathrm{grad}U$ 在单位向量 ${\overrightarrow{c}}^0$ 方向上的投影:

$$\begin{array}{}\text{(13.34)}& \frac{\partial U}{\partial {\overrightarrow{c}}^0}={\overrightarrow{c}}^0\cdot \mathrm{grad}U\end{array}$$

即可以用梯度与指向所要求方向单位向量的点积来计算方向导数.

注 在某点沿某个方向的方向导数也可能存在,即使在该处 $\mathrm{grad}U$ 不存在.

13.2.2.3 梯度和体积导数

标量场 $U=U\left(\overrightarrow{r}\right)$ 在一个点 $\overrightarrow{r}$ 处的梯度可以被定义为其体积导数 (volume derivative). 如果下述极限存在,那么它被称为 $U$ 在 $\overrightarrow{r}$ 处的梯度:

$$\begin{array}{}\text{(13.35)}& \mathrm{grad}U=\underset{V\to 0}{lim}\frac{{\oint }_{\sum }U\mathrm{d}\overrightarrow{S}}{V},\end{array}$$

这里 $V$ 是在其内部包含属于 $\overrightarrow{r}$ 的点、由闭曲面 $\sum$ 所界的空间区域的体积. (如果自变量不是一个三维向量, 则梯度由微分算子所定义.)

13.2.2.4 梯度更多的性质

(1) 在第 918 页的 13.1.2.4, 2. 中所画的等值线或等值面越稠密, 则梯度的绝对值越大.

(2) 如果在所考虑的点处 $U$ 有一个极大值或极小值,则梯度是零向量. 在那里等值线或等值面退化为一点.

13.2.2.5 在不同坐标系中标量场的梯度

1. 笛卡儿坐标系中的梯度

$$\begin{array}{}\text{(13.36)}& \mathrm{grad}U=\frac{\partial U\left(x,y,z\right)}{\partial x}\overrightarrow{i}+\frac{\partial U\left(x,y,z\right)}{\partial y}\overrightarrow{j}+\frac{\partial U\left(x,y,z\right)}{\partial z}\overrightarrow{k}.\end{array}$$

2. 柱面坐标系 $\left(x=\rho \cos \phi ,y=\rho \sin \phi ,z=z\right)$ 中的梯度

$$\begin{array}{}\text{(13.37a)}& \mathrm{grad}U={\mathrm{grad}}_{\rho }U{\overrightarrow{e}}_{\rho }+{\mathrm{grad}}_{\phi }U{\overrightarrow{e}}_{\phi }++{\mathrm{grad}}_{z}U{\overrightarrow{e}}_z\end{array}$$

其中

$$\begin{array}{}\text{(13.37b)}& {\mathrm{grad}}_{\rho }U=\frac{\partial U}{\partial \rho },{\mathrm{grad}}_{\phi }U=\frac{1}{\rho }\frac{\partial U}{\partial \phi },{\mathrm{grad}}_{z}U=\frac{\partial U}{\partial z}.\end{array}$$

3. 球面坐标系 $\left(x=r\sin \vartheta \cos \phi ,y=r\sin \vartheta \sin \phi ,z=r\cos \vartheta \right)$ 中的梯度

$$\begin{array}{}\text{(13.38a)}& \mathrm{grad}U={\mathrm{grad}}_{r}U{\overrightarrow{e}}_r+{\mathrm{grad}}_{\vartheta }U{\overrightarrow{e}}_{\vartheta }+{\mathrm{grad}}_{\phi }U{\overrightarrow{e}}_{\phi }\end{array}$$

其中

$$\begin{array}{}\text{(13.38b)}& {\mathrm{grad}}_{r}U=\frac{\partial U}{\partial r},{\mathrm{grad}}_{\vartheta }U=\frac{1}{r}\frac{\partial U}{\partial \vartheta },{\mathrm{grad}}_{\phi }U=\frac{1}{r\sin \vartheta }\frac{\partial U}{\partial \phi }.\end{array}$$

4. 一般直角坐标系 $\left(\xi ,\eta ,\zeta \right)$ 中的梯度

对于 $\overrightarrow{r}\left(\xi ,\eta ,\zeta \right)=x\left(\xi ,\eta ,\zeta \right)\overrightarrow{i}+y\left(\xi ,\eta ,\zeta \right)\overrightarrow{j}+z\left(\xi ,\eta ,\zeta \right)\overrightarrow{k}$ :

$$\begin{array}{}\text{(13.39a)}& \mathrm{grad}U={\mathrm{grad}}_{\xi }U{\overrightarrow{e}}_{\xi }+{\mathrm{grad}}_{\eta }U{\overrightarrow{e}}_{\eta }+{\mathrm{grad}}_{\zeta }U{\overrightarrow{e}}_{\zeta },\end{array}$$

其中

$$\begin{array}{}\text{(13.39b)}& {\mathrm{grad}}_{\xi }U=\frac{1}{\left|\frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial \xi }\right|}\frac{\partial U}{\partial \xi },{\mathrm{grad}}_{\eta }U=\frac{1}{\left|\frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial \eta }\right|}\frac{\partial U}{\partial \eta },{\mathrm{grad}}_{\zeta }U=\frac{1}{\left|\frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial \zeta }\right|}\frac{\partial U}{\partial \zeta }.\end{array}$$

13.2.2.6 运算法则

以下假设 $\overrightarrow{c}$ 和 $c$ 为常数,则下列等式成立:

$\mathrm{grad}c=\overrightarrow{0},\mathrm{grad}\left(U_1+U_2\right)=\mathrm{grad}{U}_1+\mathrm{grad}{U}_2,\mathrm{grad}\left(cU\right)=c\mathrm{grad}U.$ (13.40)

$$\begin{array}{}\text{(13.41)}& \mathrm{grad}\left(U_1{U}_2\right)=U_1\mathrm{grad}{U}_2+U_2\mathrm{grad}{U}_1,\mathrm{grad}\phi \left(U\right)=\frac{\mathrm{d}\phi }{\mathrm{d}U}\mathrm{grad}U.\end{array}$$

$\mathrm{grad}\left({\overrightarrow{V}}_1\cdot {\overrightarrow{V}}_2\right)=\left({\overrightarrow{V}}_1\cdot \mathrm{grad}\right){\overrightarrow{V}}_2+\left({\overrightarrow{V}}_2\cdot \mathrm{grad}\right){\overrightarrow{V}}_1+{\overrightarrow{V}}_1\times \mathrm{rot}{\overrightarrow{V}}_2+{\overrightarrow{V}}_2\times \mathrm{rot}{\overrightarrow{V}}_1.$ (13.42)

$$\begin{array}{}\text{(13.43)}& \mathrm{grad}\left(\overrightarrow{r}\cdot \overrightarrow{c}\right)=\overrightarrow{c}.\end{array}$$

1. 一个标量场的微分作为函数 $U$ 的全微分

$$\begin{array}{}\text{(13.44)}& \mathrm{d}U=\mathrm{grad}U\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{r}=\frac{\partial U}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial U}{\partial y}\mathrm{d}y+\frac{\partial U}{\partial z}\mathrm{d}z.\end{array}$$

2. 一个函数沿一条空间曲线 $\overrightarrow{r}\left(t\right)$ 的微商

$$\begin{array}{}\text{(13.45)}& \frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial U}{\partial x}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}+\frac{\partial U}{\partial y}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}+\frac{\partial U}{\partial z}\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}.\end{array}$$

3. 中心场的梯度

$$\begin{array}{}\text{(13.46a)}& \mathrm{grad}U\left(r\right)=U^{\prime }\left(r\right)\frac{\overrightarrow{r}}{r}\text{ (球面场),}\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(13.46b)}& \mathrm{grad}r=\frac{\overrightarrow{r}}{r}\text{ (单位向量场). }\end{array}$$