2.7.1 基本概念

2.7.1.1 定义及表示

1. 定义

因为三角函数是从几何角度引入进来的, 所以它们的定义及自变量采用角度或者弧度制 (参见第 170 页 3.1.1.5).

2. 正弦

标准正弦函数

$$\begin{array}{}\text{(2.63)}& y=\sin x\end{array}$$

是周期为 $T=2\pi$ 的连续曲线 (参见图 2.32(a)).

标准正弦曲线与 $x$ 轴的交点为 $B_0,B_1,B_{-1},B_2,B_{-2},\cdots$ ,其中 $B_k=\left(k\pi ,0\right)$ $\left(k=0,\pm 1,\pm 2,\cdots \right)$ 为曲线的拐点,此处切线关于 $x$ 轴的倾斜角为 $\pm \frac{\pi }{4}$ . 曲线的极值点为 $C_0,C_1,C_{-1},C_2,C_{-2},\cdots$ ,其中 $C_k=\left(\left(k+\frac{1}{2}\right)\pi ,{(-1)}^k\right)(k=$ $0,\pm 1,\pm 2,\cdots )$ . 对任意函数值 $y$ ,都有 $-1\le y\le 1$ .

一般正弦函数

$$\begin{array}{}\text{(2.64)}& y=A\sin \left(\omega x+{\phi }_0\right)\end{array}$$

的振幅为 $\left|A\right|$ ,频率为 $\omega ,{\phi }_0$ 为相位移,见图 2.32(b).

通过比较标准正弦曲线和一般正弦曲线 (图 2.32(b)), 可以看出后者可由前者沿 $y$ 轴方向拉伸 $\left|A\right|$ 倍,沿 $x$ 轴方向压缩 $\frac{1}{\omega }$ 倍,再向左平移 $\frac{{\phi }_0}{\omega }$ 个单位得到. 周期 $T=\frac{2\pi }{\omega }$ ,与 $x$ 轴的交点 $B_k=\left(\frac{k\pi -{\phi }_0}{\omega },0\right)\left(k=0,\pm 1,\pm 2,\cdots \right)$ ,极值点

$$C_k=\left(\frac{[(k+\frac{1}{2})\pi -{\phi }_0]}{\omega },{(-1)}^{k}A\right)\left(k=0,\pm 1,\pm 2,\cdots \right).$$

3. 余弦

标准余弦函数

$$\begin{array}{}\text{(2.65)}& y=\cos x=\sin \left(x+\frac{\pi }{2}\right)\end{array}$$

如图 2.33 所示.

曲线与 $x$ 轴的交点 $B_0,B_1,B_2,\cdots ,B_k=\left(\left(k+\frac{1}{2}\right)\pi ,0\right)(k=0,\pm 1$ , $\pm 2,\cdots )$ 也为拐点,此处切线的倾斜角为 $\pm \frac{\pi }{4}$ . 极值点 $C_0,C_1,\cdots ,C_k=(k\pi$ , ${(-1)}^k)\left(k=0,\pm 1,\pm 2,\cdots \right)$ .

一般余弦函数

$$\begin{array}{}\text{(2.66)}& y=A\cos \left(\omega x+{\phi }_0\right)\end{array}$$

可以变换成

$$\begin{array}{}\text{(2.67)}& y=A\sin \left(\omega x+{\phi }_0+\frac{\pi }{2}\right),\end{array}$$

即由一般正弦函数向左平移 $\phi =\frac{\pi }{2}$ 个单位.

4. 正切

正切函数

$$\begin{array}{}\text{(2.68)}& y=\tan x\end{array}$$

的周期 $T=\pi$ ,渐近线为 $x=\left(k+\frac{1}{2}\right)\pi \left(k=0,\pm 1,\pm 2,\cdots \right)$ (图 2.34). 函数在区间 $\left(-\frac{\pi }{2}+k\pi ,+\frac{\pi }{2}+k\pi \right)\left(k=0,\pm 1,\pm 2,\cdots \right)$ 单调递增,取值范围为由 $-\mathrm{\infty }$ 到 $+\mathrm{\infty }$ ,曲线与 $x$ 轴的交点为 $A_0,A_1,A_{-1},A_2,A_{-2},\cdots$ ,其中 $A_k=\left(k\pi ,0\right)(k=$ $0,\pm 1,\pm 2,\cdots )$ 且为曲线的拐点,此处切线的倾斜角为 $\frac{\pi }{4}$ .

5. 余切

余切函数

$$\begin{array}{}\text{(2.69)}& y=\cot x=-\tan \left(x+\frac{\pi }{2}\right)\end{array}$$

的图像可由正切曲线沿 $x$ 轴反射并向左平移 $\frac{\pi }{2}$ 个单位得到 (图 2.35),渐近线为 $x=k\pi \left(k=0,\pm 1,\pm 2,\cdots \right)$ . 函数在 $\left(0,\pi \right)$ 单调递减,取值范围为由 $+\mathrm{\infty }$ 到 $-\mathrm{\infty }$ ; 周期 $T=\pi$ . 曲线与 $x$ 轴的交点为 $A_0,A_1,A_{-1},A_2,A_{-2},\cdots$ ,其中 $A_k=$ $\left(\left(k+\frac{1}{2}\right)\pi ,0\right)\left(k=0,\pm 1,\pm 2,\cdots \right)$ 且为曲线的拐点,此处切线的倾斜角为 $-\frac{\pi }{4}$ .

6. 正割

正割函数

$$\begin{array}{}\text{(2.70)}& y=\sec x=\frac{1}{\cos x}\end{array}$$

的周期 $T=2\pi$ ,渐近线为 $x=\left(k+\frac{1}{2}\right)\pi \left(k=0,\pm 1,\pm 2,\cdots \right)$ ; 显然 $\left|y\right|\ge 1$ . 与函数的极大值相对应的极值点为 $A_0,A_1,A_{-1},\cdots$ ,其中 $A_k=\left(\left(2k+1\right)\pi ,-1\right)(k=$

$0,\pm 1,\pm 2,\cdots )$ ; 与函数极小值相对应的极值点为 $B_0,B_1,B_{-1},\cdots$ ,其中 $B_k=$ $\left(2k\pi ,+1\right)\left(k=0,\pm 1,\pm 2,\cdots \right)$ (图 2.36).

7. 余割

余割函数

$$\begin{array}{}\text{(2.71)}& y=\csc x=\frac{1}{\sin x}\end{array}$$

的图像可由正割函数图像向右平移 $x=\frac{\pi }{2}$ 个单位得到,渐近线为 $x=k\pi (k=$ $0,\pm 1,\pm 2,\cdots )$ . 与函数的极大值相对应的极值点为 $A_0,A_1,A_{-1},\cdots$ ,其中 $A_k=\left(\frac{4k+3}{2}\pi ,-1\right)\left(k=0,\pm 1,\pm 2,\cdots \right)$ ; 与函数极小值相对应的极值点为 $B_0,B_1,B_{-1},\cdots$ ,其中 $B_k=\left(\frac{4k+1}{2}\pi ,+1\right)\left(k=0,\pm 1,\pm 2,\cdots \right)$ (图 2.37).

2.7.1.2 函数的值域与性质

1. 角度范围 $0^{\circ }\le x\le {360}^{\circ }$

图 2.38 描述了六个三角函数从 $0^{\circ }$ 到 ${360}^{\circ }$ 或从 0 到 $2\pi$ 弧度这四个象限的情况.

表 2.1 回顾了这些函数的定义域和值域. 函数的符号与自变量所属的象限有关, 见表 2.2 .

定义域	值域	定义域	值域
	$-1\le \sin x\le 1$	$x\ne \left(2k+1\right)\frac{\pi }{2}$	$-\mathrm{\infty }<\tan x<\mathrm{\infty }$
$-\mathrm{\infty }<x<\mathrm{\infty }\{$	$-1\le \cos x\le 1$	$x\ne k\pi$ $\left(k=0,\pm 1,\pm 2,\cdots \right)$	$-\mathrm{\infty }<\cot x<\mathrm{\infty }$

象限	角	sin	COS	tan	cot	sec	CSC
I	$0^{\circ }<\alpha <{90}^{\circ }$
II	${90}^{\circ }<\alpha <{180}^{\circ }$
III	${180}^{\circ }<\alpha <{270}^{\circ }$
IV	${270}^{\circ }<\alpha <{360}^{\circ }$

2. 某些特殊角的三角函数值 (参见表 2.3)

表 $2.30^{\circ },{30}^{\circ },{45}^{\circ },{60}^{\circ },{90}^{\circ }$ 角的三角函数值

角度	弧度	sin	COS	tan	cot	sec	CSC
$0^{\circ }$	0	0	1	0	于 $\mathrm{\infty }$	1	千∞
${30}^{\circ }$	$\frac{1}{6}\pi$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$\sqrt{3}$	$\frac{2\sqrt{3}}{3}$	2
${45}^{\circ }$	$\frac{1}{4}\pi$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	1	1	$\sqrt{2}$	$\sqrt{2}$
${60}^{\circ }$	$\frac{1}{3}\pi$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\sqrt{3}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	2	$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
${90}^{\circ }$	$\frac{1}{2}\pi$	1	0	$\pm \mathrm{\infty }$	0	$\pm \mathrm{\infty }$	1

3. 任意角

因为三角函数为周期函数 (周期为 ${360}^{\circ }$ 或 ${180}^{\circ }$ ),所以任意角 $x$ 的三角函数值可以用如下法则来确定.

角 $x>{360}^{\circ }$ 或 $x>{180}^{\circ }$ : 若角度大于 ${360}^{\circ }$ 或 ${180}^{\circ }$ ,可以按下面方法化简到值 $\alpha$ ,使其满足 $0\le \alpha \le {360}^{\circ }$ 或 $0\le \alpha \le {180}^{\circ }(n$ 为整数):

$$\begin{array}{}\text{(2.72)}& \sin \left({360}^{\circ }\cdot n+\alpha \right)=\sin \alpha \end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(2.73)}& \cos \left({360}^{\circ }\cdot n+\alpha \right)=\cos \alpha \end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(2.74)}& \tan \left({180}^{\circ }\cdot n+\alpha \right)=\tan \alpha \end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(2.75)}& \cot \left({180}^{\circ }\cdot n+\alpha \right)=\cot \alpha .\end{array}$$

角 $x<0^{\circ }$ : 若为负角,可以按下面公式转化为正角的三角函数计算:

$$\begin{array}{}\text{(2.76)}& \sin \left(-\alpha \right)=-\sin \alpha \end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(2.77)}& \cos \left(-\alpha \right)=\cos \alpha \end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(2.78)}& \tan \left(-\alpha \right)=-\tan \alpha \end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(2.79)}& \cot \left(-\alpha \right)=-\cot \alpha \end{array}$$

角 ${90}^{\circ }<x<{360}^{\circ }$ : 若 ${90}^{\circ }<x<{360}^{\circ }$ ,则利用表 2.4 中的简化公式,角可以化成锐角 $\alpha$ . 相差 ${90}^{\circ },{180}^{\circ }$ 或 ${270}^{\circ }$ 的角之间函数值的关系称为象限关系.

$$\begin{array}{}\text{(2.80a)}& \cos \alpha =\sin x=\sin \left({90}^{\circ }-\alpha \right),\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(2.80b)}& \sin \alpha =\cos x=\cos \left({90}^{\circ }-\alpha \right)\end{array}$$

称为余角公式.

函数	$x={90}^{\circ }\pm \alpha$	$x={180}^{\circ }\pm \alpha$	$x={270}^{\circ }\pm \alpha$	$x={360}^{\circ }-\alpha$
$\sin x$	$+\cos \alpha$	$\mp \sin \alpha$	$-\cos \alpha$	$-\sin \alpha$
$\cos x$	于 $\sin \alpha$	$-\cos \alpha$	$\pm \sin \alpha$	$+\cos \alpha$
$\tan x$	∓ cot $\alpha$	$\pm \tan \alpha$	∓ cot $\alpha$	$-\tan \alpha$
$\cot x$	∓ tan $\alpha$	$\pm \cot \alpha$	于 $\tan \alpha$	$-\cot \alpha$

若 $\alpha +x={180}^{\circ }$ ,则补角三角函数间的关系 (参见第 168 页 3.1.1.2)

$$\begin{array}{}\text{(2.81a)}& \sin \alpha =\sin x=\sin \left({180}^{\circ }-\alpha \right),\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(2.81b)}& -\cos \alpha =\cos x=\cos \left({180}^{\circ }-\alpha \right)\end{array}$$

称为补角公式.

角 $0^{\circ }<x<{90}^{\circ }$ : 锐角 $\left(0^{\circ }<x<{90}^{\circ }\right)$ 三角函数的值可以从表 2.4 中得到, 当今常用计算机计算.

$◼\sin \left(-{1000}^{\circ }\right)=-\sin {1000}^{\circ }=-\sin \left({360}^{\circ }\cdot 2+{280}^{\circ }\right)$

$$=-\sin {280}^{\circ }=+\cos {10}^{\circ }=+0.9848\text{.}$$

4. 弧度角

以弧度制即单位圆弧给出的角, 很容易用公式 (3.2) 进行转换 (参见 170 页3.1.1.5).