7.4.4 傅里叶级数与傅里叶积分

1. 傅里叶积分

若函数 $f\left(x\right)$ 在任意有限区间上满足狄利克雷条件 (参见第 635 页 7.4.1.2,3.), 且积分 ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\left|f\left(x\right)\right|\mathrm{d}x$ 收敛 (参见第 674 页 8.2.3.2,1.),则下面公式成立 (傅里叶积分):

$$f\left(x\right)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\omega x}\mathrm{d}\omega {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f\left(t\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\omega t}\mathrm{d}t=\frac{1}{\pi }{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\mathrm{d}\omega {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f\left(t\right)\cos \omega \left(t-x\right)\mathrm{d}t.$$

(7.113a)

在间断点, 有

$$\begin{array}{}\text{(7.113b)}& f\left(x\right)=\frac{1}{2}\left[f\left(x-0\right)+f\left(x+0\right)\right].\end{array}$$

2. 非周期函数的极限情况

公式 (7.113a) 可看作当 $l\to \mathrm{\infty }$ 时非周期函数 $f\left(x\right)$ 在(-l, l)上的三角级数展开式. 借助傅里叶级数展开式,在离散频谱的基础上,周期为 $T$ 的周期函数可表示为频率 $w_n=n\frac{2\pi }{T}\left(n=1,2,\cdots \right)$ 、振幅为 $A_n$ 的谐振动之和.

利用傅里叶积分,非周期函数 $f\left(x\right)$ 可以表示成无限多个具有连续变化频率 $w$ 的谐振动之和. 傅里叶积分把函数 $f\left(x\right)$ 展开成连续频谱,其中频率 $w$ 对应谱密度 $g\left(w\right)$ :

$$\begin{array}{}\text{(7.113c)}& g\left(\omega \right)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f\left(t\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\omega t}\mathrm{d}t.\end{array}$$

若 $f\left(x\right)$ 为下面 a) 这种偶函数或 b) 这种奇函数,则傅里叶积分形式更为简单.

$$\begin{array}{}\text{(7.114a)}& \text{a)}f\left(x\right)=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\cos \omega x\mathrm{d}\omega {\int }_0^{\mathrm{\infty }}f\left(t\right)\cos \omega t\mathrm{d}t\text{;}\end{array}$$

**b) $f(\ast \ast x)=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\sin \omega x\mathrm{d}\omega {\int }_0^{\mathrm{\infty }}f\left(t\right)\sin \omega t\mathrm{d}t$ .(7.114b)

A 偶函数 $f\left(x\right)={\mathrm{e}}^{-\left|x\right|}$ 的谱密度及 $f\left(x\right)$ 的表示分别为

$$\begin{array}{}\text{(7.115a)}& g\left(\omega \right)=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{-t}\cos \omega t\mathrm{d}t=\frac{2}{\pi }\frac{1}{{\omega }^2+1}\end{array}$$

和

$$\begin{array}{}\text{(7.115b)}& {\mathrm{e}}^{-\left|x\right|}=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{\cos \omega x}{{\omega }^2+1}\mathrm{d}\omega .\end{array}$$