11.4.4 卷积型沃尔泰拉积分方程

如果一个沃尔泰拉积分方程的核有特殊形式

$$\begin{array}{}\text{(11.63a)}& K\left(x,y\right)=\{\begin{array}{ll}k\left(x-y\right),& 0\le y\le x,\\ 0,& 0\le x<y,\end{array}\end{array}$$

则可用拉普拉斯变换来解下列方程

$$\begin{array}{}\text{(11.63b)}& {\int }_0^{x}k\left(x-y\right)\phi \left(y\right)\mathrm{d}y=f\left(x\right),\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(11.63c)}& \phi \left(x\right)=f\left(x\right)+{\int }_0^{x}k\left(x-y\right)\phi \left(y\right)\mathrm{d}y.\end{array}$$

如果拉普拉斯变换 $\mathcal{L}\{\phi \left(x\right)\}=\mathrm{\Phi }\left(p\right),\mathcal{L}\{f\left(x\right)\}=F\left(p\right)$ 和 $\mathcal{L}\{k\left(x\right)\}=K\left(p\right)$ 存在,则变换后的方程分别有形式 (参见第 1010 页 15.2.1.2, 11.)

$$\begin{array}{}\text{(11.64a)}& K\left(p\right)\mathrm{\Phi }\left(p\right)=F\left(p\right),\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(11.64b)}& \mathrm{\Phi }\left(p\right)=F\left(p\right)+K\left(p\right)\mathrm{\Phi }\left(p\right).\end{array}$$

从这两个方程分别得到

$$\begin{array}{}\text{(11.64c)}& \mathrm{\Phi }\left(p\right)=\frac{F\left(p\right)}{K\left(p\right)},\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(11.64d)}& \mathrm{\Phi }\left(p\right)=\frac{F\left(p\right)}{1-K\left(p\right)}.\end{array}$$

逆变换给出原来问题的解 $\phi \left(x\right)$ . 把第二类积分方程解的拉普拉斯变换公式重写,

导出

$$\begin{array}{}\text{(11.64e)}& \mathrm{\Phi }\left(p\right)=\frac{F\left(p\right)}{1-K\left(p\right)}=F\left(p\right)+\frac{K\left(p\right)}{1-K\left(p\right)}F\left(p\right).\end{array}$$

公式

$$\begin{array}{}\text{(11.64f)}& \frac{K\left(p\right)}{1-K\left(p\right)}=H\left(p\right)\end{array}$$

仅依赖于核,将其逆表为 $h\left(x\right)$ ,则解为

$$\begin{array}{}\text{(11.64g)}& \phi \left(x\right)=f\left(x\right)+{\int }_0^{x}h\left(x-y\right)f\left(y\right)\mathrm{d}y.\end{array}$$

函数 $h\left(x-y\right)$ 是原积分方程的预解核.

$◼\phi \left(x\right)=f\left(x\right)+{\int }_0^x{\mathrm{e}}^{x-y}\phi \left(y\right)\mathrm{d}y:\mathrm{\Phi }\left(p\right)=F\left(p\right)+\frac{1}{p-1}\mathrm{\Phi }\left(p\right)$ ,即 $\mathrm{\Phi }\left(p\right)=\frac{p-1}{p-2}F\left(p\right)$ . 逆变换给出 $\phi \left(x\right)$ . 从 $H\left(p\right)=\frac{1}{p-2}$ 即得 $h\left(x\right)={\mathrm{e}}^{2x}$ . 由(11.64g)知解为 $\phi \left(x\right)=$$f\left(x\right)+{\int }_0^x{\mathrm{e}}^{2\left(x-y\right)}f\left(y\right)\mathrm{d}y.$