12.5.1 线性算子的有界性, 范数和连续性

12.5.1.1 线性算子的有界性和范数

设 $X=\left(X,\parallel \cdot \parallel \right)$ 和 $Y=\left(Y,\parallel \cdot \parallel \right)$ 是赋范空间. 在下面的讨论中,用来强调空间 $X$ 的范数记号 $\parallel \cdot {\parallel }_X$ 中的标号 $X$ 将被略去,这是因为从上下文看,所涉及的范数和空间并不会产生混淆. 一个算子称作有界的,是指存在实数 $\lambda >0$ 使得

$$\begin{array}{}\text{(12.132)}& \parallel T\left(x\right)\parallel \le \lambda \parallel x\parallel ,\mathrm{\forall }x\in X.\end{array}$$

带常数 $\lambda$ 的有界算子将每个向量至多 “放大” $\lambda$ 倍,并且把 $X$ 中的有界集变成 $Y$ 中有界集,特别地, $X$ 的单位球的像在 $Y$ 中是有界的. 上述的这个性质正是有界线性算子的特征. 线性算子是连续的 (参见第 873 页 12.2.3), 当且仅当它是有界的. 使 (12.132) 成立的最小常数 $\lambda$ 称作算子 $T$ 的范数,记作 $\parallel T\parallel$ ,即

$$\begin{array}{}\text{(12.133)}& \parallel T\parallel \text{:=}inf\{\lambda >0:\parallel Tx\parallel \le \lambda \parallel x\parallel x\in X\}.\end{array}$$

对于连续线性算子, 如下等式成立:

$$\begin{array}{}\text{(12.134)}& \parallel T\parallel =\underset{\parallel x\parallel \le 1}{sup}\parallel Tx\parallel =\underset{\parallel x\parallel <1}{sup}\parallel Tx\parallel =\underset{\parallel x\parallel =1}{sup}\parallel Tx\parallel ,\end{array}$$

此外, 还有如下估计:

$$\begin{array}{}\text{(12.135)}& \parallel Tx\parallel \le \parallel T\parallel \cdot \parallel x\parallel ,\mathrm{\forall }x\in X.\end{array}$$

设 $T$ 为由积分

$$\begin{array}{}\text{(12.136)}& \left(Tx\right)\left(s\right)=y\left(s\right)={\int }_a^{b}K\left(s.t\right)x\left(t\right)\mathrm{d}t\left(s\in \left[a,b\right]\right)\end{array}$$

定义的 $\mathcal{C}\left(\left[a,b\right]\right)$ 中的算子,这里 $\mathcal{C}\left(\left[a,b\right]\right)$ 中范数为 $\left(12.89\mathrm{e}\right),K\left(s,t\right)$ 是矩形 $\{a\le$ $s,t\le b\}$ 上的 (复值) 连续函数. 那么 $T$ 是将 $\mathcal{C}\left(\left[a,b\right]\right)$ 映入 $\mathcal{C}\left(\left[a,b\right]\right)$ 的有界线性算子, 其范数是

$$\begin{array}{}\text{(12.137)}& \parallel T\parallel =\underset{s\in \left[a,b\right]}{max}{\int }_a^b\left|K\left(s,t\right)\right|\mathrm{d}t.\end{array}$$

12.5.1.2 线性连续算子空间

两个 (连续) 线性算子 $S,T:X\to Y$ 之和 $U=S+T$ 及数乘 $\alpha T$ 由逐点定义:

$$\begin{array}{}\text{(12.138)}& U\left(x\right)=S\left(x\right)+T\left(x\right),\left(\alpha T\right)\left(x\right)=\alpha \cdot T\left(x\right),\mathrm{\forall }x\in X,\mathrm{\forall }\alpha \in \mathbb{F}.\end{array}$$

所有 $X$ 到 $Y$ 的有界线性算子集合 $L\left(X,Y\right)$ ,有时也记作 $B\left(X,Y\right)$ ,赋以运算 (12.138) 后是一个向量空间,这里 $\parallel T\parallel \left(12.133\right)$ 是其上的范数. 因此 $L\left(X,Y\right)$ 是一个赋范空间,甚至当 $Y$ 为巴拿赫空间时,它也是巴拿赫空间. 于是满足公理 $\left(\mathrm{V}1\right)\sim \left(\mathrm{V}8\right)$ 和 $\left(\mathrm{N}1\right)\sim \left(\mathrm{N}3\right)$ (参见第 855 页 12.1.1; 第 874 页 12.3.1).

如果 $X=Y$ ,则对于任意两个算子 $S,T\in L\left(X,X\right)=L\left(X\right)=B\left(X\right)$ ,可以定义它们的乘积:

$$\begin{array}{}\text{(12.139)}& \left(ST\right)\left(x\right)=S\left(Tx\right),\mathrm{\forall }x\in X,\end{array}$$

其满足第 878 页 12.3.4 的公理 (A1) $\sim \left(\mathrm{A}4\right)$ ,以及与范数的相容性条件 (12.100). 一般说来, $L\left(X\right)$ 不是交换的赋范代数,但若 $X$ 是巴拿赫空间,则它也是巴拿赫代数. 于是对于每个算子 $T\in L\left(X\right)$ ,可以定义其幂次:

$$\begin{array}{}\text{(12.140)}& T^0=I,T^n=T^{n-1}T\left(n=1,2,\cdots \right),\end{array}$$

这里 $I$ 是恒等算子 $Ix=x,\mathrm{\forall }x\in X$ . 于是

$$\begin{array}{}\text{(12.141)}& \Vert \begin{array}{c}{T}^n\end{array}\Vert \le \parallel T{\parallel }^n\left(n=1,2,\cdots \right),\end{array}$$

此外, 总存在 (有穷) 极限

$$\begin{array}{}\text{(12.142)}& r\left(T\right)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{\Vert \begin{array}{c}{T}^n\end{array}\Vert }\end{array}$$

称作算子 $T$ 的谱半径,并满足关系式

$$\begin{array}{}\text{(12.143)}& r\left(T\right)\le \parallel T\parallel ,r\left(T^n\right)={\left[r\left(T\right)\right]}^n,r\left(\alpha T\right)=\left|\alpha \right|r\left(T\right),r\left(T\right)=r\left(T^{\ast }\right),\end{array}$$

其中 $T^{\ast }$ 是 $T$ 的伴随算子 (参见第 894 页 12.6 以及 (12.159)). 如果 $L\left(X\right)$ 是完备的,那么当 $\left|\lambda \right|>r\left(T\right)$ 时,算子 ${(\lambda I-T)}^{-1}$ 可以表示成诺伊曼级数形式:

$$\begin{array}{}\text{(12.144)}& {(\lambda I-T)}^{-1}={\lambda }^{-1}I+{\lambda }^{-2}T+\cdots +{\lambda }^{-n}{T}^{n-1}+\cdots ,\end{array}$$

并且当 $\left|\lambda \right|>r\left(T\right)$ 时,上述级数在 $L\left(X\right)$ 中按算子范数收敛.

12.5.1.3 算子序列的收敛性

1. 点点收敛

线性连续算子序列 $T_n:X\to Y$ 点点收敛于算子 $T:X\to Y$ 意指

$$\begin{array}{}\text{(12.145)}& T^{n}x\to Tx\text{ 在 }Y\text{ 中 }\mathrm{\forall }x\in X.\end{array}$$

2. 一致收敛

算子序列 ${\left\{T^n\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ 在 $L\left(X,Y\right)$ 中按通常的范数收敛于 $T$ ,即

$$\begin{array}{}\text{(12.146)}& \Vert \begin{array}{c}{T}_n-T\end{array}\Vert =\underset{\parallel x\parallel \le 1}{sup}\Vert \begin{array}{c}{T}_{n}x-Tx\end{array}\Vert \to 0\left(n\to \mathrm{\infty }\right)\end{array}$$

就是在 $X$ 的单位球上一致收敛. 一致收敛蕴涵点点收敛,但逆命题一般不成立.

3. 应用

当插值节点数 $n$ 趋于无穷时求积公式的收敛性、求和的性能原理、极限方法等.