2.15.1 悬链线

一质地均匀、柔韧但不能伸展的粗链悬挂两端得到的连续曲线称为悬链线 (图 2.78). 悬链线方程为

$$\begin{array}{}\text{(2.252)}& y=a\cosh \frac{x}{a}=a\frac{{\mathrm{e}}^{\frac{x}{a}}+{\mathrm{e}}^{-\frac{x}{a}}}{2}\left(a>0\right),\end{array}$$

顶点 $A\left(0,a\right)$ 由参数 $a$ 确定. 曲线关于 $y$ 轴对称,且始终位于抛物线 $y=a+\frac{x^2}{2a}$ (如图 2.78 中虚线所示) 的上方, $\stackrel{⏜}{AP}$ 弧长 $L=a\sinh \frac{x}{a}=a\frac{{\mathrm{e}}^{\frac{x}{a}}-{\mathrm{e}}^{-\frac{x}{a}}}{2}$ ,区域 $OAPM$ 的面积 $S=aL=a^2\sinh \frac{x}{a}$ . 曲率半径 $r=\frac{y^2}{a}=a{\cosh }^2\frac{x}{a}=a+\frac{L^2}{a}$ .

悬链线是曳物线的渐屈线 (参见第 341 页 3.6.1.6, 1.), 因此曳物线是顶点为 $A\left(0,a\right)$ 的悬链线的渐伸线 (参见第 341 页 3.6.1.6,2.).