1.5.3 复数的计算

1.5.3.1 加法和减法

以代数形式给出的两个或多个复数的加法和减法, 定义如下:

$$z_1+z_2-z_3+\cdots =\left(a_1+\mathrm{i}{b}_1\right)+\left(a_2+\mathrm{i}{b}_2\right)-\left(a_3+\mathrm{i}{b}_3\right)+\cdots$$$$\begin{array}{}\text{(1.136)}& =\left(a_1+a_2-a_3+\cdots \right)+\mathrm{i}\left(b_1+b_2-b_3+\cdots \right).\end{array}$$

上述计算与一般二项式的处理方式相同. 对加法和减法进行几何解释可考虑对应向量的加减法 (图 1.8), 一般的向量计算法则对复数都适用 (参见第 242 页 3.5.1.1). 对于 $z$ 和 $z^{\ast },z+z^{\ast }$ 总是实数, $z-z^{\ast }$ 是纯虚数.

1.5.3.2 乘法

以代数形式给出的两个复数 $z_1$ 和 $z_2$ 的乘法,定义如下:

$$\begin{array}{}\text{(1.137a)}& z_1{z}_2=\left(a_1+\mathrm{i}{b}_1\right)\left(a_2+\mathrm{i}{b}_2\right)=\left(a_1{a}_2-b_1{b}_2\right)+\mathrm{i}\left(a_1{b}_2+b_1{a}_2\right).\end{array}$$

若复数以三角形式给出, 则有

$$z_1{z}_2=\left[{\rho }_1\left(\cos {\phi }_1+\mathrm{i}\sin {\phi }_1\right)\right]\left[{\rho }_2\left(\cos {\phi }_2+\mathrm{i}\sin {\phi }_2\right)\right]$$$$\begin{array}{}\text{(1.137b)}& ={\rho }_1{\rho }_2\left[\cos \left({\phi }_1+{\phi }_2\right)+\mathrm{i}\sin \left({\phi }_1+{\phi }_2\right)\right],\end{array}$$

即乘积的模等于各因子的模之积, 积的辐角等于各因子的辐角之和.

积的指数形式为

$$\begin{array}{}\text{(1.137c)}& z_1{z}_2={\rho }_1{\rho }_2{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\left({\phi }_1+{\phi }_2\right)}.\end{array}$$

两个复数 $z_1$ 和 $z_2$ 乘积的几何解释是一个向量 (图 1.9). 该向量由 $z_1$ 对应的向量旋转而成,旋转的角度为向量 $z_2$ 的辐角 (是顺时针旋转还是逆时针旋转,取决于辐角的符号),且向量长度伸展 $\left|z_2\right|$ 倍.

积 $z_1{z}_2$ 也可通过简单的三角式表示 (图 1.9). 复数 $z$ 的 $\mathrm{i}$ 倍即指旋转 $\frac{\pi }{2}$ 的角度, 其模不变(图 1.10).

对于 $z$ 和 $z^{\ast }$ ,有

$$z{z}^{\ast }=p^2={\left|z\right|}^2=a^2+b^2.$$

1.5.3.3 除法

除法定义为乘法的逆运算. 对于以代数形式给出的复数, 有

$$\begin{array}{}\text{(1.138a)}& \frac{z_1}{z_2}=\frac{a_1+\mathrm{i}{b}_1}{a_2+\mathrm{i}{b}_2}=\frac{a_1{a}_2+b_1{b}_2}{a_2^2+b_2^2}+\mathrm{i}\frac{a_2{b}_1-a_1{b}_2}{a_2^2+b_2^2}.\end{array}$$

若复数以三角形式给出, 则有

$$\begin{array}{}\text{(1.138b)}& \frac{z_1}{z_2}=\frac{{\rho }_1\left(\cos {\phi }_1+\mathrm{i}\sin {\phi }_1\right)}{{\rho }_2\left(\cos {\phi }_2+\mathrm{i}\sin {\phi }_2\right)}=\frac{{\rho }_1}{{\rho }_2}\left[\cos \left({\phi }_1-{\phi }_2\right)+\mathrm{i}\sin \left({\phi }_1-{\phi }_2\right)\right],\end{array}$$

即商的模等于被除数和除数模的比值; 商的辐角等于两辐角之差.

对于指数形式, 有

$$\begin{array}{}\text{(1.138c)}& \frac{z_1}{z_2}=\frac{{\rho }_1}{{\rho }_2}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\left({\phi }_1-{\phi }_2\right)}.\end{array}$$

向量 $\frac{z_1}{z_2}$ 的几何表示为: 把向量 $z_1$ 旋转角度 $-\arg z_2$ ,然后收缩 $\left|z_2\right|$ 倍生成.

注 除以零向量不存在.

1.5.3.4 基本运算法则

关于复数 $z=a+\mathrm{i}b$ 的运算,与一般二项式运算法则相同,但需考虑到 ${\mathrm{i}}^2=-1$ . 两个复数相除时, 首先对分式的分子分母同乘以除数的共轭复数, 把分母的虚部去掉. 这是可行的, 因为

$$\begin{array}{}\text{(1.139)}& \left(a+\mathrm{i}b\right)\left(a-\mathrm{i}b\right)=a^2+b^2\end{array}$$

是一个实数.

$$\frac{\left(3-4\mathrm{i}\right){(-1+5\mathrm{i})}^2}{1+3\mathrm{i}}+\frac{10+7\mathrm{i}}{5\mathrm{i}}=\frac{\left(3-4\mathrm{i}\right)\left(1-10\mathrm{i}-25\right)}{1+3\mathrm{i}}+\frac{\left(10+7\mathrm{i}\right)\mathrm{i}}{5\mathrm{i}\mathrm{i}}$$$$=\frac{-2\left(3-4\mathrm{i}\right)\left(12+5\mathrm{i}\right)}{1+3\mathrm{i}}+\frac{7-10\mathrm{i}}{5}=\frac{-2\left(56-33\mathrm{i}\right)\left(1-3\mathrm{i}\right)}{\left(1+3\mathrm{i}\right)\left(1-3\mathrm{i}\right)}+\frac{7-10\mathrm{i}}{5}$$$$=\frac{-2\left(-43-201\mathrm{i}\right)}{10}+\frac{7-10\mathrm{i}}{5}=\frac{1}{5}\left(50+191\mathrm{i}\right)=10+38.2\mathrm{i}.$$

1.5.3.5 复数的幂

复数的 $n$ 次幂可用二项式公式计算,非常不便. 由于实际原因会经常使用三角形式, 即所谓的棣莫弗公式:

$$\begin{array}{}\text{(1.140a)}& {\left[\rho (\cos \phi +\mathrm{i}\sin \phi )\right]}^n={\rho }^n\left(\cos n\phi +\mathrm{i}\sin n\phi \right),\end{array}$$

即幂的模是 $\rho$ 的 $n$ 次幂,辐角是 $\phi$ 的 $n$ 倍. 特别地,有

$$\begin{array}{}\text{(1.140b)}& {\mathrm{i}}^2=-1,{\mathrm{i}}^3=-\mathrm{i},{\mathrm{i}}^4=+1.\end{array}$$

一般地,

$$\begin{array}{}\text{(1.140c)}& {\mathrm{i}}^{4n+k}={\mathrm{i}}^k\text{.}\end{array}$$

1.5.3.6 复数的 $n$ 次根

求复数的 $n$ 次方根是幂的逆运算. 对于 $z=\rho \left(\cos \phi +\mathrm{i}\sin \phi \right)\ne 0$ ,记号

$$\begin{array}{}\text{(1.141a)}& z^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{z}\left(n>0,n\text{ 是整数 }\right)\end{array}$$

是 $n$ 个不同值

$$\begin{array}{}\text{(1.141b)}& {\omega }_k=\sqrt[n]{\rho }\left(\cos \frac{\phi +2k\pi }{n}+\mathrm{i}\sin \frac{\phi +2k\pi }{n}\right)\left(k=0,1,2,\cdots ,n-1\right)\end{array}$$

的简单记法. 复数的加、减、乘、除和整数次幂,都有唯一结果,而 $n$ 次方根有 $n$ 个不同的解 ${\omega }_k$ .

点 ${\omega }_k$ 的几何解释是: 中心在原点的正 $n$ 边形的顶点. 图 1.11中给出了 $\sqrt[6]{z}$ 的 6 个值.