11.4.3 通过诺伊曼级数得到的第二类沃尔泰拉积分方程的解

利用诺伊曼级数(参见第 823 页 11.2.3) 可以表示第二类沃尔泰拉积分方程的解. 如果方程有形式

$$\begin{array}{}\text{(11.61)}& \phi \left(x\right)=f\left(x\right)+\lambda {\int }_a^{x}K\left(x,y\right)\phi \left(y\right)\mathrm{d}y,\end{array}$$

形式地作代换

$$\begin{array}{}\text{(11.62a)}& \overline{K}\left(x,y\right)=\{\begin{array}{ll}K\left(x,y\right),& y\le x,\\ 0,& y>x.\end{array}\end{array}$$

在这个变换下, (11.61) 恒同于一个弗雷德霍姆积分方程

$$\begin{array}{}\text{(11.62b)}& \phi \left(x\right)=f\left(x\right)+\lambda {\int }_a^b\overline{K}\left(x,y\right)\phi \left(y\right)\mathrm{d}y,\end{array}$$

其中也容许 $b=\mathrm{\infty }$ . 其解有表达式

$$\begin{array}{}\text{(11.62c)}& \phi \left(x\right)=f\left(x\right)+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\lambda }^n{\int }_a^b{K}_n\left(x,y\right)f\left(y\right)\mathrm{d}y.\end{array}$$

迭代核(iterated kernel) $K_1,K_2,\cdots$ 由下述一些等式所定义:

$$K_1\left(x,y\right)=\overline{K}\left(x,y\right),K_2\left(x,y\right)={\int }_a^b\overline{K}\left(x,\eta \right)\overline{K}\left(\eta ,y\right)\mathrm{d}\eta ={\int }_y^{x}K\left(x,\eta \right)K\left(\eta ,y\right)\mathrm{d}\eta ,\cdots .$$

(11.62d)一般地, 有

$$\begin{array}{}\text{(11.62e)}& K_n\left(x,y\right)={\int }_y^{x}K\left(x,\eta \right)K_{n-1}\left(\eta ,y\right)\mathrm{d}\eta .\end{array}$$

对于迭代核,当 $y>x$ 时也成立方程 $K_j\left(x,y\right)\equiv 0\left(j=1,2,\cdots \right)$ . 与弗雷德霍姆积分方程不同,如果沃尔泰拉积分方程 (11.61) 有解,则与 $\lambda$ 的值无关,诺伊曼级数收敛到解.

$$\phi \left(x\right)=1+\lambda {\int }_0^x{\mathrm{e}}^{x-y}\phi \left(y\right)\mathrm{d}y.K_1\left(x,y\right)={\mathrm{e}}^{x-y},K_2\left(x,y\right)={\int }_y^x{\mathrm{e}}^{x-\eta }{\mathrm{e}}^{\eta -y}\mathrm{d}\eta =$$

${\mathrm{e}}^{x-y}\left(x-y\right),\cdots ,K_n\left(x,y\right)=\frac{{\mathrm{e}}^{x-y}}{\left(n-1\right)!}{(x-y)}^{n-1}.$

因而,预解式为: $\mathrm{\Gamma }\left(x,y;\lambda \right)={\mathrm{e}}^{x-y}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\lambda }^n}{n!}{(x-y)}^n={\mathrm{e}}^{\left(x-y\right)\left(\lambda +1\right)}$ . 众所周知,这个级数对于参数 $\lambda$ 的任何值都收敛.

有 $\phi \left(x\right)=1+\lambda {\int }_0^x{\mathrm{e}}^{\left(x-y\right)\left(\lambda +1\right)}\mathrm{d}y=1+\lambda {\mathrm{e}}^{\left(\lambda +1\right)x}{\int }_0^x{\mathrm{e}}^{-\left(\lambda +1\right)y}\mathrm{d}y$ ,特别地,当 $\lambda =-1$ 时 $\phi \left(x\right)=1-x$ ,当 $\lambda \ne -1$ 时 $\phi \left(x\right)=\frac{1}{\lambda +1}\left(1+\lambda {\mathrm{e}}^{\left(\lambda +1\right)x}\right)$ .