12.2.3 连续算子

1. 连续算子

设 $T:X\to Y$ 是距离空间 $X=\left(X,\rho \right)$ 到距离空间 $Y=\left(Y,\varrho \right)$ 的映射. $T$ 称作在点 $x_0\in X$ 连续的,是指对于点 $y_0=T{x}_0$ 的每个邻域 $V=V\left(y_0\right)$ ,存在一邻域 $U=U\left(x_0\right)$ 使得

$$\begin{array}{}\text{(12.76)}& T\left(x\right)\in V,\mathrm{\forall }x\in U.\end{array}$$

$T$ 称作在集合 $A\subset X$ 上连续,是指它在 $A$ 的每一点上连续. 为了 $T$ 在 $X$ 上连续, 下列这些性质都是等价的:

a) 对于任意 $x\in X$ 和任意序列 ${\left\{x_n\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }},x_n\in X$ ,若 $x_n\to x$ ,则 $T\left(x_n\right)\to$ $T\left(x\right)$ . 因此, $\rho \left(x_n,x\right)\to 0$ 蕴涵 $\varrho \left(T\left(x_n\right),T\left(x\right)\right)\to 0$ .

b) 对于任意开子集 $G\subset Y$ ,逆值域 $T^{-1}\left(G\right)$ 也是 $X$ 中的开子集.

c) 对于任意闭子集 $F\subset Y$ ,逆值域 $T^{-1}\left(F\right)$ 也是 $X$ 中的闭子集.

d) 对于任意子集 $A\subset X$ ,有 $T\left(\overline{A}\right)\subset \overline{T\left(A\right)}$ .

2. 等距空间

对于两个距离空间 $X=\left(X,\rho \right)$ 和 $Y=\left(Y,\varrho \right)$ ,如果存在一双射映射 $T:X\to$ $Y$ 使得

$$\begin{array}{}\text{(12.77)}& \rho \left(x,y\right)=\varrho \left(T\left(x\right),T\left(y\right)\right),\mathrm{\forall }x,y\in X,\end{array}$$

则空间 $X,Y$ 称作是等距的,而 $T$ 称作两个空间之间的一个等距或等距同构.