10.3.5 具有数个未知函数的变分问题

假设变分问题的泛函有形式

$$\begin{array}{}\text{(10.34)}& I\left[y_1,y_2,\cdots ,y_n\right]={\int }_a^{b}F\left(x,y_1,y_2,\cdots ,y_n,y_1^{\prime },y_2^{\prime },\cdots ,y_n^{\prime }\right)\mathrm{d}x,\end{array}$$

其中诸未知函数 $y_1\left(x\right),y_2\left(x\right),\cdots ,y_n\left(x\right)$ 在 $x=a$ 和 $x=b$ 处取给定的值. 考虑 $n$ 个二次连续可微的可比较函数

$$\begin{array}{}\text{(10.35)}& y_i\left(x\right)=y_{i0}\left(x\right)+{\epsilon }_i{\eta }_i\left(x\right)\left(i=1,2,\cdots ,n\right),\end{array}$$

其中诸函数 ${\eta }_i\left(x\right)$ 在区间 $\left[a,b\right]$ 端点处为零,因此在 (10.35) 下 (10.34) 即变为 $I\left({\epsilon }_1,{\epsilon }_2,\cdots ,{\epsilon }_n\right)$ . 从多个自变量函数极值的必要条件

$$\begin{array}{}\text{(10.36)}& \frac{\partial I}{\partial {\epsilon }_i}=0\left(i=1,2,\cdots ,n\right)\end{array}$$

即得 $n$ 个欧拉微分方程

$$\begin{array}{}\text{(10.37)}& \frac{\partial F}{\partial y_1}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\frac{\partial F}{\partial y_1^{\prime }}\right)=0,\frac{\partial F}{\partial y_2}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\frac{\partial F}{\partial y_2^{\prime }}\right)=0,\cdots ,\frac{\partial F}{\partial y_n}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\frac{\partial F}{\partial y_n^{\prime }}\right)=0,\end{array}$$

它的解 $y_1\left(x\right),y_2\left(x\right),\cdots ,y_n\left(x\right)$ 必须满足给定的边界条件.