12.8.1 非线性算子的例子

一般来说, 在 884 页 12.5.1 中讨论的线性算子的连续性和有界性之间的关系, 对于非线性算子就不再成立. 在研究非线性边值问题和非线性积分方程这样的非线性算子方程时, 经常会出现如下的非线性算子. 在第 871 页 12.2.2.4 中描述的迭代方法可以用来成功求解非线性积分方程.

1. 聂梅茨基算子

设 $\mathrm{\Omega }$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 中的开可测子集 (参见第 905 页 12.9.1), $f:\mathrm{\Omega }\times \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 为双变量函数,并且 $f\left(x,s\right)$ 对几乎每个 $s$ 相对于 $x$ 连续,而对每个 $x$ 相对于 $s$ 则可测 (卡拉泰奥多里条件). $\mathcal{F}\left(\mathrm{\Omega }\right)$ 上的非线性算子 $\mathcal{N}$ 定义为

$$\begin{array}{}\text{(12.190)}& \left(\mathcal{N}u\right)\left(x\right)=f\left(x,u\left(x\right)\right)\left(x\in \mathrm{\Omega }\right),\end{array}$$

称作聂梅茨基算子. 如果它把 $L^p\left(\mathrm{\Omega }\right)$ 映入 $L^q\left(\mathrm{\Omega }\right)$ ,则 $\mathcal{N}$ 是连续且有界的,这里 $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ . 例如,当

$$\begin{array}{}\text{(12.191)}& \left|f\left(x,s\right)\right|\le a\left(x\right)+b{\left|s\right|}^{\frac{p}{q}},\text{ 其中 }a\left(x\right)\in L^q\left(\mathrm{\Omega }\right)\left(b>0\right),\end{array}$$

或当 $f:\mathrm{\Omega }\times \mathbb{R}$ 连续时,就是这样的情形. 仅在特殊情形下 $\mathcal{N}$ 是紧算子.

2. 哈默斯坦算子

设 $\mathrm{\Omega }$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 的相对紧子集, $f$ 是满足卡拉泰奥多里条件的函数,而 $K\left(x,y\right)$ 是 $\overline{\mathrm{\Omega }}\times \overline{\mathrm{\Omega }}$ 上的连续函数. $\mathcal{F}\left(\mathrm{\Omega }\right)$ 上的非线性算子

$$\begin{array}{}\text{(12.192)}& \left(\mathcal{H}u\right)\left(x\right)={\int }_{\mathrm{\Omega }}K\left(x,y\right)f\left(y,u\left(y\right)\right)\mathrm{d}y\left(x\in \mathrm{\Omega }\right)\end{array}$$

称作哈默斯坦算子. $\mathcal{H}$ 可以写成 $\mathcal{H}=\mathcal{K}\cdot \mathcal{N}$ ,其中 $\mathcal{N}$ 为聂梅茨基算子,而 $\mathcal{K}$ 为由积分核 $K\left(x,y\right)$ 确定的积分算子:

$$\begin{array}{}\text{(12.193)}& \left(\mathcal{K}u\right)\left(x\right)={\int }_{\mathrm{\Omega }}K\left(x,y\right)u\left(y\right)\mathrm{d}y\left(x\in \mathrm{\Omega }\right).\end{array}$$

如果核 $K\left(x,y\right)$ 满足附加条件

$$\begin{array}{}\text{(12.194)}& {\int }_{\mathrm{\Omega }\times \mathrm{\Omega }}{\left|K(x,y)\right|}^q\mathrm{d}x\mathrm{d}y<\mathrm{\infty },\end{array}$$

并且函数 $f$ 满足条件 (12.191),那么 $\mathcal{H}$ 是 $L^p\left(\mathrm{\Omega }\right)$ 上的连续紧算子.

3. 鸟雷松算子

设 $\mathrm{\Omega }\subset {\mathbb{R}}^n$ 是一开可测子集, $K\left(x,y,s\right):\mathrm{\Omega }\times \mathrm{\Omega }\times \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 是三变量函数. 那么 $\mathcal{F}\left(\mathrm{\Omega }\right)$ 上的非线性算子 $\mathcal{U}$

$$\begin{array}{}\text{(12.195)}& \left(\mathcal{U}u\right)\left(x\right)={\int }_{\mathrm{\Omega }}K\left(x,y,u\left(y\right)\right)\mathrm{d}y\left(x\in \mathrm{\Omega }\right)\end{array}$$

称作乌雷松算子. 如果核 $K\left(x,y,s\right)$ 满足适当的条件,则 $\mathcal{U}$ 分别是 $\mathcal{C}\left(\mathrm{\Omega }\right)$ 和 $L^p\left(\mathrm{\Omega }\right)$ 上的连续紧算子.