19.3.3 高斯求积公式

高斯求积公式的一般形式为

$$\begin{array}{}\text{(19.81)}& {\int }_a^{b}f\left(x\right)\mathrm{d}x\approx \sum _{v=0}^n{c}_v{y}_v,\text{ 其中 }{y}_v=f\left(x_v\right),\end{array}$$

这里不仅系数 $c_v$ 是参数,而且插值节点 $x_v$ 也是参数. 确定这些参数使得公式 (19.81) 对于尽可能高次的多项式准确成立.

高斯求积公式导致高精度近似, 但插值节点必须以特别的方式选取.

19.3.3.1 高斯求积分式

若 (19.81) 的积分区间为 $\left[a,b\right]=\left[-1,1\right]$ ,插值节点选为勒让德多项式的根 (参见第 748 页 9.1.2.6,3. 以及 1430 页 21.12),则系数 $c_v$ 可由使得 (19.81) 对直到 $2n+1$ 阶多项式都能准确来确定. 勒让德多项式的根是关于原点对称的. 对于 $n=1,2,3$ 的情况,有

$$n=1:x_0=-x_1,$$$$x_1=\frac{1}{\sqrt{3}}=0.577350269\cdots ,$$$$n=2:x_0=-x_2,$$$$\begin{array}{}\text{(19.82)}& x_1=0,c_1=\frac{8}{9},\end{array}$$$$x_2=\sqrt{\frac{3}{5}}=0.774596669\cdots ,c_2=c_0.$$$$n=3:x_0=-x_3,$$$$c_0=0.347854854\cdots ,$$$$x_1=-x_2,c_1=0.652145154\cdots ,$$$$x_2=0.339981043\cdots ,$$$$c_2=c_1,$$$$x_3=0.861136311\cdots ,$$$$c_3=c_0\text{.}$$

注 对于一般的积分区间 $\left[a,b\right]$ 可以通过变换 $t=\frac{b-a}{2}x+\frac{b+a}{2}(t\in \left[a,b\right]$ ,$x\in \left[-1,1])\text{变为}\left[-1,1\right]\text{. 于是}\right]$

$$\begin{array}{}\text{(19.83)}& {\int }_a^{b}f\left(t\right)\mathrm{d}t\approx \frac{b-a}{2}\sum _{\nu =0}^n{c}_{\nu }f\left(\frac{b-a}{2}{x}_{\nu }+\frac{a+b}{2}\right),\end{array}$$

这里 $x_{\nu }$ 与 $c_{\nu }$ 的值由前面关于区间 $\left[-1,1\right]$ 的公式给出.

19.3.3.2 洛巴托 (Lobatto) 求积公式

在某些情况下, 选取子区间的端点作为插值节点也是合理的. 此时在 (19.81) 中有多于 $2n$ 个的自由参数. 这些值由使得对直到 $2n-1$ 阶多项式都能准确求积来确定. 对于 $n=2$ 与 $n=3$ 的情况,有

$$n=2\text{:}$$$$x_0=-1,c_0=\frac{1}{3},$$$$\begin{array}{}\text{(19.84a)}& x_1=0,c_1=\frac{4}{3},\end{array}$$$$x_2=1,c_2=c_0.$$$$n=3\text{:}$$$$x_0=-1$$$$c_0=\frac{1}{6}$$$$x_1=-x_2,$$$$\begin{array}{}\text{(19.84b)}& c_1=\frac{5}{6}\end{array}$$$$x_2=\frac{1}{\sqrt{5}}=0.447213595\cdots ,$$$$x_3=1$$$$c_3=c_0.$$

$n=2$ 的情况表示辛普森公式.