5.6.3 同态

恰如经典的代数结构, 同态定理给出同态与同余关系间的联系.

设 $A$ 和 $B$ 是 $\mathrm{\Omega }$ 代数. 映射 $h:A\to B$ 称为同态,如果对于每个 $\omega \in {\mathrm{\Omega }}_n$ 及所有 $a_1,\cdots ,a_n\in A$ :

$$\begin{array}{}\text{(5.280)}& h\left({\omega }^A\left(a_1,\cdots ,a_n\right)\right)={\omega }^A\left(h\left(a_1\right),\cdots ,h\left(a_n\right)\right).\end{array}$$

如果 $h$ 还是双射,那么 $h$ 称为同构; 称代数 $A$ 和 $B$ 同构. $\mathrm{\Omega }$ 代数 $A$ 的同态象 $h$ 是 $B$ 的一个 $\mathrm{\Omega }$ 子代数. 在同态映射 $h$ 下 $A$ 分解为具有相同的象的元素组成的子集, 这个分解对应于一个同余关系,称它为 $h$ 的核:

$$\begin{array}{}\text{(5.281)}& \ker h=\{\left(a,b\right)\in A\times A\mid h\left(a\right)=h\left(b\right)\}.\end{array}$$