9.2.3 自然科学和工程学中的一些偏微分方程

9.2.3.1 问题和边界条件的叙述

1. 问题的叙述

经典理论物理学中不同物理现象的建模和数学处理, 特别是在为无结构或连续变动的介质, 如气体、液体、固体、经典物理场等建模时, 会导致偏微分方程的产生. 一个重要的领域是量子力学, 它基于对介质和场的不连续的认同. 最重要的关系是薛定谔方程. 二阶线性偏微分方程最频繁地出现, 它们在当今的自然科学中有特殊的重要性.

2. 初始条件和边界条件

物理学、工程学和自然科学问题的解, 通常必须满足两个基本要求:

1. 解不仅表现满足微分方程, 而且还必须满足初始条件和/或边界条件. 有这样的问题, 只有初始条件, 或只有边界条件, 或两者兼有之. 所有条件在一起必须确定微分方程的唯一解.

2. 关于初始条件和边界条件的微小变化, 解必须是稳定的, 也就是说, 解的改变在这些条件的扰动 (pertubations) 足够小时必须可以任意小. 此时可以给出问题的正确叙述(correct problem formulation).

可以假设, 描述实际情况的所给问题的数学模型只有在这些条件都被满足时才是合乎需要的.

例如, 为了研究连续介质中的振动过程, 恰当地定义了双曲型微分方程的柯西问题 (参见第 756 页 9.2.1.1, 5.). 这意味着, 在一个初始流形上, 亦即在一条曲线上或一个曲面上, 给出了所求函数及其沿非切向 (通常是沿法向) 导数的值

在椭圆型微分方程的情形 - 出现在连续介质中定态问题和平衡问题的研究中, 形成边值问题是正确的. 如果所考虑的区域是无界的, 那么未知函数在自变量无限增长时必须满足某些给定的性质.

3. 非齐次条件和非齐次微分方程

具有非齐次初始条件或边界条件的齐次或非齐次线性偏微分方程的解, 可以被归结为一个方程的解, 该方程与原始方程的差别仅在于其自由项不包含未知函数, 以及它有齐次条件. 用原始函数与任一满足给定非齐次条件的二次可微函数之差替代原始函数即可.

一般地, 可以利用下述事实: 一个具有给定非齐次初始条件或边界条件的非齐次线性偏微分方程的解, 是具有零条件的同一个微分方程的解与具有给定条件的相应的齐次微分方程的解之和.

为了把非齐次线性偏微分方程

$$\begin{array}{}\text{(9.103a)}& \frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}-L\left[u\right]=g\left(x,t\right)\end{array}$$

具有齐次初始条件

$$\begin{array}{}\text{(9.103b)}& {u|}_{t=0}=0,{\frac{\partial u}{\partial t}|}_{t=0}=0\end{array}$$

的解归结为相应的齐次微分方程的解, 作代换

$$\begin{array}{}\text{(9.103c)}& u={\int }_0^t\phi \left(x,t;\tau \right)\mathrm{d}\tau \end{array}$$

这里 $\phi \left(x,t;\tau \right)$ 是微分方程

$$\begin{array}{}\text{(9.103d)}& \frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}-L\left[u\right]=0\end{array}$$

的解, 它满足边界条件

$$\begin{array}{}\text{(9.103e)}& {u|}_{t=\tau }=0,{\frac{\partial u}{\partial t}|}_{t=\tau }=g\left(x,\tau \right).\end{array}$$

在这个方程中, $x$ 符号地表示 $n$ 维问题的所有 $n$ 个变量 $x_1,x_2,\cdots ,x_n.L\left[u\right]$ 表示一个线性微分表达式,它也许包含导数 $\frac{\partial u}{\partial t}$ ,但是不包含关于 $t$ 的高阶导数.

9.2.3.2 波方程

在均匀介质中振荡的传播是由波方程 (wave equation)

$$\begin{array}{}\text{(9.104a)}& \frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}-a^2\mathrm{\Delta }u=Q\left(x,t\right)\end{array}$$

来描述的,在没有扰动时右端 $Q\left(x,t\right)$ 为零. 符号 $x$ 表示 $n$ 维问题的 $n$ 个变量 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$ . 拉普拉斯算子 $\mathrm{\Delta }$ (也参见第 934 页 13.2.6.5) 由下述方式定义:

$$\begin{array}{}\text{(9.104b)}& \mathrm{\Delta }u=\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x_1^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x_2^2}+\cdots +\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x_n^2}.\end{array}$$

波方程的解是波函数 (wave function) $u$ . 微分方程 (9.104a) 是双曲型的.

1. 齐次问题

具有初始条件

$$\begin{array}{}\text{(9.105)}& {u|}_{t=0}=\phi \left(x\right),{\frac{\partial u}{\partial t}|}_{t=0}=\psi \left(x\right)\end{array}$$

的 $Q\left(x,t\right)=0$ 时的齐次问题的解,在 $n=1,2,3$ 时分别由下述一些积分给出.

情形 $n=3$ (基尔霍夫 (Kirchhoff) 公式):

$$u\left(x_1,x_2,x_3,t\right)=\frac{1}{4\pi a^2}\left[{\iint }_{S_{at}}\frac{\psi \left({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3\right)}{t}\mathrm{d}\sigma +\frac{\partial }{\partial t}{\iint }_{S_{at}}\frac{\phi \left({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3\right)}{t}\mathrm{d}\sigma \right],$$

(9.106a)

其中积分是在由方程 ${({\alpha }_1-x_1)}^2+{({\alpha }_2-x_2)}^2+{({\alpha }_3-x_3)}^2=a^2{t}^2$ 给出的球面 $S_{at}$ 上施行的.

情形 $n=2$ (泊松公式):

$$u\left(x_1,x_2,t\right)=\frac{1}{2\pi a}[{\iint }_{C_{at}}\frac{\psi \left({\alpha }_1,{\alpha }_2\right)\mathrm{d}{\alpha }_1\mathrm{d}{\alpha }_2}{\sqrt{a^2{t}^2-{({\alpha }_1-x_1)}^2-{({\alpha }_2-x_2)}^2}}$$$$\begin{array}{}\text{(9.106b)}& +\frac{\partial }{\partial t}{\iint }_{C_{at}}\frac{\phi \left({\alpha }_1,{\alpha }_2\right)\mathrm{d}{\alpha }_1\mathrm{d}{\alpha }_2}{\sqrt{a^2{t}^2-{({\alpha }_1-x_1)}^2-{({\alpha }_2-x_2)}^2}}],\end{array}$$

其中积分是在由方程 ${({\alpha }_1-x_1)}^2+{({\alpha }_2-x_2)}^2\le a^2{t}^2$ 给出的圆盘 $C_{at}$ 上施行的.

情形 $n=1$ (达朗贝尔 (d’Alembert) 公式):

$$\begin{array}{}\text{(9.106c)}& u\left(x_1,t\right)=\frac{\phi \left(x_1+at\right)+\phi \left(x_1-at\right)}{2}+\frac{1}{2a}{\int }_{x_1-at}^{x_1+at}\psi \left(\alpha \right)\mathrm{d}\alpha .\end{array}$$

2. 非齐次问题

在此情形,即 $Q\left(x,t\right)\ne 0$ ,必须在(9.106a, b, c)的右端添加正确的项.

情形 $n=3$ (推迟位势) 对于由 $r\text{:=}\sqrt{{({\xi }_1-x_1)}^2+{({\xi }_2-x_2)}^2+{({\xi }_3-x_3)}^2}\le$ at 给出的域 $K$ ,正确的项是

$$\begin{array}{}\text{(9.107a)}& \frac{1}{4\pi a^2}{\iiint }_K\frac{Q\left({\xi }_1,{\xi }_2,{\xi }_3,t-\frac{r}{a}\right)}{r}\mathrm{d}{\xi }_1\mathrm{d}{\xi }_2\mathrm{d}{\xi }_3.\end{array}$$

情形 $n=2\frac{1}{2\pi a}{\iiint }_K\frac{Q\left({\xi }_1,{\xi }_2,\tau \right)\mathrm{d}{\xi }_1\mathrm{d}{\xi }_2\mathrm{d}\tau }{\sqrt{a^2{(t-\tau )}^2-{({\xi }_1-x_1)}^2-{({\xi }_2-x_2)}^2}}$ ,(9.107b)

其中 $K$ 是 ${\xi }_1,{\xi }_2,\tau$ 空间中由两个不等式 $0\le \tau \le t,{({\xi }_1-x_1)}^2+{({\xi }_2-x_2)}^2\le a^2{(t-\tau )}^2$ 定义的域.

情形 $n=1$

$$\begin{array}{}\text{(9.107c)}& \frac{1}{2a}{\iint }_{T}Q\left(\xi ,\tau \right)\mathrm{d}\xi \mathrm{d}\tau \end{array}$$

其中 $T$ 是三角形域 $0\le \tau \le t,\left|\xi -x_1\right|\le a\left|t-\tau \right|,a$ 表示扰动的波速.

9.2.3.3 均匀介质的热导方程和扩散方程

1. 三维热导方程

在一个均匀介质中热的传播由一个二阶线性抛物型偏微分方程

$$\begin{array}{}\text{(9.108a)}& \frac{\partial u}{\partial t}-a^2\mathrm{\Delta }u=Q\left(x,t\right)\end{array}$$

所描述,其中 $\mathrm{\Delta }$ 是由位置向量 $\overrightarrow{r}$ 确定的 3 个传播方向 $x_1,x_2,x_3$ 定义的三维拉普拉斯算子. 如果热流既无源,又无汇,(9.108a) 的右端就消失,因为 $Q\left(x,t\right)=0$ .

用下述方式可以提出柯西问题: 对于 $t>0$ 确定一个满足 ${u|}_{t=0}=f\left(x\right)$ 的有界解 $u\left(x,t\right)$ . 有界性的要求保证了解的唯一性. 对于 $Q\left(x,t\right)=0$ 时的齐次微分方程, 得到波函数 (wave function)

$$u\left(x_1,x_2,x_3,t\right)=\frac{1}{{\left(2a\sqrt{\pi t}\right)}^n}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f\left({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3\right)$$$$\cdot \exp \left(-\frac{{(x_1-{\alpha }_1)}^2+{(x_2-{\alpha }_2)}^2+{(x_3-{\alpha }_3)}^2}{4a^{2}t}\right)\mathrm{d}{\alpha }_1\mathrm{d}{\alpha }_2\mathrm{d}{\alpha }_3.$$

(9.108b)

在当 $Q\left(x,t\right)\ne 0$ 时的非齐次微分方程的情形,必须在 (9.108b) 的右端添加下述表达式:

$${\int }_0^t[{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\frac{Q\left({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3\right)}{{\left[2a\sqrt{\pi \left(t-\tau \right)}\right]}^n}$$$$\begin{array}{}\text{(9.108c)}& \cdot \exp \left(-\frac{{(x_1-{\alpha }_1)}^2+{(x_2-{\alpha }_2)}^2+{(x_3-{\alpha }_3)}^2}{4a^2\left(t-\tau \right)}\right)\mathrm{d}{\alpha }_1\mathrm{d}{\alpha }_2\mathrm{d}{\alpha }_3]\mathrm{d}\tau .(\end{array}$$

如果给出值 $u\left(x,0\right)$ ,用这个方法不能解确定 $t<0$ 时 $u\left(x,t\right)$ 的问题,因为在此情形不能正确形成柯西问题.

由于温度差正比于热量,常常引进 $u=T\left(\overrightarrow{r},t\right)$ (温度场) 和 $a^2=D_W$ (热扩散常数或热导率), 而得到

$$\begin{array}{}\text{(9.108d)}& \frac{\partial T}{\partial t}-D_W\mathrm{\Delta }T=Q_W\left(\overrightarrow{r},t\right).\end{array}$$

2. 三维扩散方程

类似于热方程,均匀介质中浓度 $C$ 的传播由相同的线性偏微分方程 (9.108a) 和 (9.108d) 所描述,其中 $D_W$ 由三维扩散系数 (diffusion coefficient) $D_C$ 替代. 扩散方程 (diffusion equation) 是

$$\begin{array}{}\text{(9.109)}& \frac{\partial C}{\partial t}-D_C\mathrm{\Delta }C=Q_C\left(\overrightarrow{r},t\right).\end{array}$$

在波方程的解 (9.108b) 和 (9.108c) 中改变记号即得到 (9.109) 的解.

9.2.3.4 位势方程

二阶线性偏微分方程

$$\begin{array}{}\text{(9.110a)}& \mathrm{\Delta }u=-4\pi \varrho \end{array}$$

被称为位势方程 (potential equation) 或泊松微分方程 (Poisson differential equation) (参见第 951 页 13.5.2),它确定了有一个可能的标量点函数 $\varrho \left(x\right)$ 决定的标量场的位势 $u\left(x\right)$ ,这里 $x$ 有坐标 $x_1,x_2,x_3,\mathrm{\Delta }$ 是拉普拉斯算子. 在第 951 页 13.5.2 讨论了 (9.110a) 的解,在点 $M$ 处的位势 $u_M\left(x_1,x_2,x_3\right)$ .

当 $\varrho \equiv 0$ 时得到齐次微分方程的拉普拉斯微分方程 (Laplace differential equation):

$$\begin{array}{}\text{(9.110b)}& \mathrm{\Delta }u=0.\end{array}$$