13.1.3 向量场

13.1.3.1 向量场或向量点函数

如果对于空间一个子集的每个点 $P$ 都指定一个向量 $\overrightarrow{V}$ ,则记为

$$\begin{array}{}\text{(13.12a)}& \overrightarrow{V}=\overrightarrow{V}\left(P\right)\end{array}$$

并称 (13.12a) 为一个向量场 (vector field).

$◼$ 运动中流体的速度场、力场、磁强度场和电强度场都是向量场的例子.

一个向量场 $\overrightarrow{V}=\overrightarrow{V}\left(P\right)$ 可以被视作为一个向量函数

$$\begin{array}{}\text{(13.12b)}& \overrightarrow{V}=\overrightarrow{V}\left(\overrightarrow{r}\right)\end{array}$$

其中 $\overrightarrow{r}$ 是具有一个给定极 0 的点 $P$ 的位置向量. 如果 $\overrightarrow{r}$ 以及 $\overrightarrow{V}$ 的所有的值位于一个平面中, 则称此场为一个平面向量场 (参见第 254 页 3.5.2).

13.1.3.2 一些重要的向量场

1. 中心向量场

在一个中心向量场中,所有向量 $\overrightarrow{V}$ 都位于通过一个称为中心 (center) 的固定点 (图 13.5(a)) 直线上.

把极点置为该中心, 则向量场由公式

$$\begin{array}{}\text{(13.13a)}& \overrightarrow{V}=f\left(\overrightarrow{r}\right)\overrightarrow{r}\end{array}$$

所表示,该场的所有向量与径向量 $\overrightarrow{r}$ 有同一方向. 用公式

$$\begin{array}{}\text{(13.13b)}& \overrightarrow{V}=\phi \left(\overrightarrow{r}\right)\frac{\overrightarrow{r}}{r}\left(r=\left|\overrightarrow{r}\right|\right).\end{array}$$

定义向量场常会有某些便利,其中 $\left|\phi \left(\overrightarrow{r}\right)\right|$ 是向量 $\overrightarrow{V}$ 的长度,而 $\frac{\overrightarrow{r}}{r}$ 是 $\overrightarrow{r}$ 方向的单位向量.

2. 球面向量场

球面向量场是中心向量场的一个特殊情形,其中向量 $\overrightarrow{V}$ 的长度仅依赖于距离 $\left|\overrightarrow{r}\right|$ (图 13.5(b)). 一个点状质量或一个点电荷的牛顿力场 (Newton force field) 和库仑力场 (Coulomb force field) 是球面向量场的例子:

$$\begin{array}{}\text{(13.14)}& \overrightarrow{V}=\frac{c}{r^3}\overrightarrow{r}=\frac{c}{r^2}\frac{\overrightarrow{r}}{r}\left(c\text{ 是常数 }\right).\end{array}$$

平面球面向量场的特殊情形被称为一个圆场(circular field).

3. 柱面向量场

a) 所有向量 $\overrightarrow{V}$ 都位于一些与某一直线 (称为轴 (axis)) 相交并垂直于它的直线上, 并且

b) 离轴有同样距离的点处的所有向量 $\overrightarrow{V}$ 都有同样长度,并且它们或者指向轴, 或者背离轴 (图 13.5(c)).

把极点置于平行于单位向量 $\overrightarrow{c}$ 的轴上,则向量场有形式

$$\begin{array}{}\text{(13.15a)}& \overrightarrow{V}=\phi \left(\rho \right)\frac{{\overrightarrow{r}}^{\ast }}{\rho },\end{array}$$

其中 ${\overrightarrow{r}}^{\ast }$ 是 $\overrightarrow{r}$ 在垂直于轴的一个平面上的投影:

$$\begin{array}{}\text{(13.15b)}& {\overrightarrow{r}}^{\ast }=\overrightarrow{c}\times \left(\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{c}\right)\end{array}$$

用垂直于轴的平面截这个向量场, 总是得到相同的圆场.

13.1.3.3 向量场的坐标表示

1. 笛卡儿坐标系中的向量场

向量场 (13.12a) 可以由标量场 $V_1\left(\overrightarrow{r}\right),V_2\left(\overrightarrow{r}\right)$ 和 $V_3\left(\overrightarrow{r}\right)$ 来定义,这些标量场是 $\overrightarrow{V}$ 的坐标函数,即 $\overrightarrow{V}$ 分解为任意 3 个非共面基向量 ${\overrightarrow{\mathrm{e}}}_1,{\overrightarrow{\mathrm{e}}}_2$ 和 ${\overrightarrow{\mathrm{e}}}_3$ 的系数:

$$\begin{array}{}\text{(13.16a)}& \overrightarrow{V}=V_1{\overrightarrow{\mathrm{e}}}_1+V_2{\overrightarrow{\mathrm{e}}}_2+V_3{\overrightarrow{\mathrm{e}}}_3.\end{array}$$

利用坐标单位向量 $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$ 作为基向量,并用笛卡儿坐标表示系数,即得

$$\begin{array}{}\text{(13.16b)}& \overrightarrow{V}=V_x\left(x,y,z\right)\overrightarrow{i}+V_y\left(x,y,z\right)\overrightarrow{j}+V_z\left(x,y,z\right)\overrightarrow{k}.\end{array}$$

因而, 可以借助于 3 个标量变量的 3 个标量函数来定义向量场.

2. 柱面坐标系和球面坐标系中的向量场

在柱面坐标系和球面坐标系中, 坐标单位向量

$$\begin{array}{}\text{(13.17a)}& {\overrightarrow{\mathrm{e}}}_{\rho },{\overrightarrow{\mathrm{e}}}_{\phi },{\overrightarrow{\mathrm{e}}}_z\left(=\overrightarrow{k}\right)\text{ 和 }{\overrightarrow{\mathrm{e}}}_r\left(=\frac{\overrightarrow{r}}{r}\right),{\overrightarrow{\mathrm{e}}}_{\vartheta },{\overrightarrow{\mathrm{e}}}_{\phi }\end{array}$$

在各点处切于坐标线 (图 13.6, 图 13.7). 在这个次序下, 它们总是形成一个右手坐标系. 诸系数被表示为相应坐标的函数:

$$\begin{array}{}\text{(13.17b)}& \overrightarrow{V}=V_{\rho }\left(\rho ,\phi ,z\right){\overrightarrow{\mathrm{e}}}_{\rho }+V_{\phi }\left(\rho ,\phi ,z\right){\overrightarrow{\mathrm{e}}}_{\phi }+V_z\left(\rho ,\phi ,z\right){\overrightarrow{\mathrm{e}}}_z,\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(13.17c)}& \overrightarrow{V}=V_r\left(r,\vartheta ,\phi \right){\overrightarrow{\mathrm{e}}}_r+V_{\phi }\left(r,\vartheta ,\phi \right){\overrightarrow{\mathrm{e}}}_{\phi }+V_{\vartheta }\left(r,\vartheta ,\phi \right){\overrightarrow{\mathrm{e}}}_{\vartheta }.\end{array}$$

在从一点转移到另一点时, 诸坐标单位向量改变其方向, 但仍保持相互垂直.

13.1.3.4 坐标系变换

亦见表 13.1.

笛卡儿坐标系	柱面坐标系	球面坐标系
$\overrightarrow{V}=V_x{\overrightarrow{\mathrm{e}}}_x+V_y{\overrightarrow{\mathrm{e}}}_y+V_z{\overrightarrow{\mathrm{e}}}_z$	$V_{\rho }{\overrightarrow{e}}_{\rho }+V_{\phi }{\overrightarrow{e}}_{\phi }+V_z{\overrightarrow{e}}_z$	$V_r{\overrightarrow{\mathrm{e}}}_r+V_{\vartheta }{\overrightarrow{\mathrm{e}}}_{\vartheta }+V_{\phi }{\overrightarrow{\mathrm{e}}}_{\phi }$
$V_x$	$=V_{\rho }\cos \phi -V_{\phi }\sin \phi$	$=V_r\sin \vartheta \cos \phi +V_{\vartheta }\cos \vartheta \cos \phi$ $-V_{\phi }\sin \phi$
$V_y$	$=V_{\rho }\sin \phi +V_{\phi }\cos \phi$	$=V_r\sin \vartheta \sin \phi +V_{\vartheta }\cos \vartheta \sin \phi$ $+V_{\phi }\cos \phi$
$V_z$	$=V_z$	$=V_r\cos \vartheta -V_{\vartheta }\sin \vartheta$
$V_x\cos \phi +V_y\sin \phi$	$=V_{\rho }$	$=V_r\sin \vartheta +V_{\vartheta }\cos \vartheta$
$-V_x\sin \phi +V_y\cos \phi$	$=V_{\phi }$	$=V_{\phi }$
$V_z$	$=V_z$	$=V_r\cos \vartheta -V_{\vartheta }\sin \vartheta$
$V_x\sin \vartheta \cos \phi +V_y\sin \vartheta \sin \phi$ $+V_z\cos \vartheta$	$=V_{\rho }\sin \vartheta +V_z\cos \vartheta$	$=V_r$
$V_x\cos \vartheta \cos \phi +V_y\cos \vartheta \sin \phi$ $-V_z\sin \phi$	$=V_{\rho }\cos \vartheta -V_z\sin \vartheta$	$=V_{\vartheta }$
$-V_x\sin \phi +V_y\cos \phi$	$=V_{\phi }$	$=V_{\phi }$

1. 用柱面坐标系表示笛卡儿坐标系

$$\begin{array}{}\text{(13.18)}& V_x=V_{\rho }\cos \phi -V_{\phi }\sin \phi ,V_y=V_{\rho }\sin \phi +V_{\phi }\cos \phi ,V_z=V_z.\end{array}$$

2. 用笛卡儿坐标系表示柱面坐标系

$$\begin{array}{}\text{(13.19)}& V_{\rho }=V_x\cos \phi +V_y\sin \phi ,V_{\phi }=-V_x\sin \phi +V_y\cos \phi ,V_z=V_z.\end{array}$$

3. 用球面坐标系表示笛卡儿坐标系

$$V_x=V_r\sin \vartheta \cos \phi -V_{\phi }\sin \phi +V_{\vartheta }\cos \phi \cos \vartheta ,$$$$\begin{array}{}\text{(13.20)}& V_y=V_r\sin \vartheta \sin \phi +V_{\phi }\cos \phi +V_{\vartheta }\sin \phi \cos \vartheta ,\end{array}$$$$V_z=V_r\cos \vartheta -V_{\vartheta }\sin \vartheta .$$

4. 用笛卡儿坐标系表示球面坐标系

$$V_r=V_x\sin \vartheta \cos \phi +V_y\sin \vartheta \sin \phi +V_z\cos \vartheta ,$$$$\begin{array}{}\text{(13.21)}& V_{\vartheta }=V_x\cos \vartheta \cos \phi +V_y\cos \vartheta \sin \phi -V_z\sin \vartheta ,\end{array}$$$$V_{\phi }=-V_x\sin \phi +V_y\cos \phi .$$

5. 用笛卡儿坐标系表示球面向量场

$$\begin{array}{}\text{(13.22)}& \overrightarrow{V}=\phi \left(\sqrt{x^2+y^2+z^2}\right)\left(x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}\right).\end{array}$$

6. 用笛卡儿坐标系表示柱面向量场

$$\begin{array}{}\text{(13.23)}& \overrightarrow{V}=\phi \left(\sqrt{x^2+y^2}\right)\left(x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}\right).\end{array}$$

在球面向量场的情形,球面坐标系,即形式 $\overrightarrow{V}=V\left(r\right){\overrightarrow{\mathrm{e}}}_r$ 最易于进行研究; 而对于柱面向量场,柱面坐标系,即形式 $\overrightarrow{V}=V\left(\phi \right){\overrightarrow{e}}_{\phi }$ 最方便. 在平面向量场的情形 (图 13.8), 成立

$$\begin{array}{}\text{(13.24)}& \overrightarrow{V}=V_x\left(x,y\right)\overrightarrow{i}+V_y\left(x,y\right)\overrightarrow{j}=V\rho \left(\rho ,\phi \right){\overrightarrow{\mathrm{e}}}_{\rho }+V_{\phi }\left(\rho ,\phi \right){\overrightarrow{\mathrm{e}}}_{\phi },\end{array}$$

对于圆场, 有

$$\begin{array}{}\text{(13.25)}& \overrightarrow{V}=\phi \left(\sqrt{x^2+y^2}\right)\left(x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}\right)=\phi \left(\rho \right){\overrightarrow{\mathrm{e}}}_{\rho }.\end{array}$$

13.1.3.5 向量线

一条曲线 $C$ 被称为一个向量的线 (line of a vector),或者向量场 $\overrightarrow{V}\left(\overrightarrow{r}\right)$ 的向量线 (vector line),如果在每一点 $P$ 处向量 $\overrightarrow{V}\left(\overrightarrow{r}\right)$ 是曲线 $C$ 的切向量 (图 13.9). 通过向量场的每一点都有一条向量线. 向量线相互间不相交,除非可能在函数 $\overrightarrow{V}$ 无定义的点处,或者在一个 0 向量的点处. 在笛卡儿坐标系中,一个向量场 $\overrightarrow{V}$ 的向量线的微分方程是

a) 一般的场

$$\begin{array}{}\text{(13.26a)}& \frac{\mathrm{d}x}{V_x}=\frac{\mathrm{d}y}{V_y}=\frac{\mathrm{d}z}{V_z}.\end{array}$$

b) 平面场

$$\begin{array}{}\text{(13.26b)}& \frac{\mathrm{d}x}{V_x}=\frac{\mathrm{d}y}{V_y}.\end{array}$$

为了解这些微分方程, 请见第 717 页的 9.1.1.2 或第 754 页的 9.2.1.1.

$◼\mathbf{A}$:中心场的向量线是从向量场的中心出发的射线.

A B: 向量场 $\overrightarrow{V}=\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{r}$ 的向量线是位于垂直于向量 $\overrightarrow{c}$ 的那些平面中的圆周. 它们的圆心在平行于 $\overrightarrow{c}$ 的轴上.