10.3.3 具有附加条件的变分问题

这些问题通常是等周问题 (参见第 804 页 10.2.1): 由泛函 (10.11) 给出的、并由形如

$$\begin{array}{}\text{(10.25)}& {\int }_a^{b}G\left(x,y\left(x\right),y^{\prime }\left(x\right)\right)\mathrm{d}x=l\left(l\text{ 是常数 }\right)\end{array}$$

的附加条件所完成的简单变分问题 (参见第 804 页 10.2.1),其中常数 $l$ 和函数 $G$ 是给定的. 解这个问题的一个方法由拉格朗日所给出 (具有方程形式附加条件的极值, 参见第 611 页 6.2.5.6). 考虑表达式

$$\begin{array}{}\text{(10.26)}& H\left(x,y\left(x\right),y^{\prime }\left(x\right),\lambda \right)=F\left(x,y\left(x\right),y^{\prime }\left(x\right)\right)+\lambda G\left(x,y\left(x\right),y^{\prime }\left(x\right)\right),\end{array}$$

其中 $\lambda$ 是参数,并作为一个没有附加条件的极值问题来解问题

$$\begin{array}{}\text{(10.27)}& {\int }_a^{b}H\left(x,y\left(x\right),y^{\prime }\left(x\right),\lambda \right)\mathrm{d}x=\text{ 极值! }\end{array}$$

相应的欧拉微分方程为

$$\begin{array}{}\text{(10.28)}& \frac{\partial H}{\partial y}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\frac{\partial H}{\partial y^{\prime }}\right)=0.\end{array}$$

其解 $y=y\left(x,\lambda \right)$ 依赖于参数 $\lambda$ ,必须把 $y\left(x,\lambda \right)$ 代入附加条件 (10.25) 来确定 $\lambda$ .

$◼$对于第 804 页的等周问题 10.2.1, 得到

$$\begin{array}{}\text{(10.29a)}& H\left(x,y\left(x\right),y^{\prime }\left(x\right),\lambda \right)=y+\lambda \sqrt{1+y^{\prime 2}}.\end{array}$$

由于变量 $x$ 不出现在 $H$ 中,取代欧拉微分方程 (10.28),类似于 (10.22c),得到微分方程

$$y+\lambda \sqrt{1+y^{\prime 2}}-\frac{\lambda y^{\prime 2}}{\sqrt{1+y^{\prime 2}}}=c_1\text{ 或者 }{y}^{\prime 2}=\frac{\sqrt{{\lambda }^2-{(c_1-y)}^2}}{c_1-y}$$

(10.29b)

它的解是一族圆周

$$\begin{array}{}\text{(10.29c)}& {(x-c_2)}^2+{(y-c_1)}^2={\lambda }^2\left(c_1,c_2,\lambda \text{ 是常数 }\right).\end{array}$$

从条件 $y\left(a\right)=0,y\left(b\right)=0$ 和 $A$ 与 $B$ 之间的弧长是 $l$ 这一要求来确定 $c_1,c_2$ 和 $\lambda$ 的值. 其结果对于 $\lambda$ 是一个非线性方程,用一个适当的迭代方法可以解得 $\lambda$ .