5.7.2 对偶原理

1. 对偶化

在布尔代数的 “公理” 中包含下列的对偶性: 在一个公理中,用 $\bigsqcup$ 代替 $\sqcap$ ,用 $\sqcap$ 代替 $\bigsqcup$ ,用 1 代替 0,用 0 代替 1,总是给出同一行中另一个公理. 同一行中的公理是互相对偶的, 并且代换过程称为对偶化. 通过对偶化可以从布尔代数的一个陈述推出对偶陈述.

2. 布尔代数的对偶原理

一个对于布尔代数正确的陈述的对偶陈述也是对于布尔代数正确的陈述, 即对于每个被证明的命题, 对偶命题也被证明.

3. 性质

例如, 我们从公理得到布尔代数的下列性质.

(E1) 运算 $\sqcap$ 和 $\bigsqcup$ 是幂等的:

$$\begin{array}{}\text{(5.298)}& a\sqcap a=a.\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(5.299)}& a\bigsqcup a=a.\end{array}$$

(E2) 德摩根法则:

$$\begin{array}{}\text{(5.300)}& \overline{a\sqcap b}=\overline{a}\bigsqcup \overline{b}.\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(5.301)}& \overline{a\bigsqcup b}=\overline{a}\sqcap \overline{b}.\end{array}$$

(E3) 其他性质:

$$\begin{array}{}\text{(5.302)}& \bar{\overline{a}}=a.\end{array}$$

只需证明上面每条的两个性质之一就足够了, 因为另外一个是对偶性质. 最后一个性质是自身对偶的.