7.3.5 渐近幂级数

即使是发散级数也可用于函数值的计算,而计算 $\left|x\right|$ 较大时的函数值,往往要考察关于 $\frac{1}{x}$ 的某些渐近幂级数.

7.3.5.1 渐近性

设两函数 $f\left(x\right)$ 和 $g\left(x\right)$ 在 $x_0<x<\mathrm{\infty }$ 上有定义,若

$$\begin{array}{}\text{(7.98a)}& \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=1\end{array}$$

或

$$\begin{array}{}\text{(7.98b)}& f\left(x\right)=g\left(x\right)+o\left(g\left(x\right)\right),x\to \mathrm{\infty },\end{array}$$

则称它们在 $x\to \mathrm{\infty }$ 时渐近相等,其中 $o\left(g\left(x\right)\right)$ 为朗道 (Laudau) 符号 “小 o”(参见第 74 页 2.1.4.9). 若 $f\left(x\right)$ 和 $g\left(x\right)$ 满足 (7.98a) 或 (7.98b),也记为 $f\left(x\right)\sim g\left(x\right)$ .

$◼\mathbf{A}$: $\sqrt{x^2+1}\sim x$ .

$◼\mathbf{B}$: ${\mathrm{e}}^{\frac{1}{x}}\sim 1$ .

$◼\mathbf{C}$: $\frac{3x+2}{4x^3+x+2}\sim \frac{3}{4x^2}$ .

7.3.5.2 渐近幂级数

1. 渐近级数的概念

当 $x>x_0$ 时,若对每个 $n=0,1,2,\cdots$ ,都有

$$\begin{array}{}\text{(7.99)}& f\left(x\right)=\sum _{\nu =0}^n\frac{a_{\nu }}{x^{\nu }}+O\left(\frac{1}{x^{n+1}}\right),\end{array}$$

则级数 $\sum _{v=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_{\nu }}{x^{\nu }}$ 称为函数 $f\left(x\right)$ 的渐近幂级数,其中 $O\left(\frac{1}{x^{n+1}}\right)$ 为朗道符号 “大 O"(参见第 74 页 2.1.4.9),(7.99) 也记为 $f\left(x\right)\approx \sum _{\nu =0}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_{\nu }}{x^{\nu }}$ .

近似公式	下一项	对误差 $x$ 的容许区间
		0.1%		1%		10%
		从	到	从	到	从	到
$\sin x\approx x$	$-\frac{x^3}{6}$	-0.077	0.077	-0.245	0.245	-0.786	0.786
		$-{4.4}^{\circ }$	${4.4}^{\circ }$	$-{14.0}^{\circ }$	14.0°	$-{45.0}^{\circ }$	${45.0}^{\circ }$
$\sin x\approx x-\frac{x^3}{6}$	$+\frac{x^5}{120}$	-0.580	0.580	-1.005	1.005	-1.632	1.632
		$-{33.2}^{\circ }$	${33.2}^{\circ }$	$-{57.6}^{\circ }$	57.6°	$-{93.5}^{\circ }$	${93.5}^{\circ }$
$\cos x\approx 1$	$-\frac{x^2}{2}$	-0.045	0.045	-0.141	0.141	-0.415	0.415
		$-{2.6}^{\circ }$	${2.6}^{\circ }$	$-{8.1}^{\circ }$	${8.1}^{\circ }$	$-{25.8}^{\circ }$	${25.8}^{\circ }$
$\cos x\approx 1-\frac{x^2}{2}$	$+\frac{x^4}{24}$	-0.386	0.386	-0.662	0.662	-1.036	1.036
		$-{22.1}^{\circ }$	22.1°	$-{37.9}^{\circ }$	37.9°	$-{59.3}^{\circ }$	59.3°
$\tan x\approx x$	$+\frac{x^3}{3}$	-0.054	0.054	-0.172	0.172	-0.517	0.517
		$-{3.1}^{\circ }$	${3.1}^{\circ }$	$-{9.8}^{\circ }$	${9.8}^{\circ }$	$-{29.6}^{\circ }$	29.6°
$\tan x\approx x+\frac{x^3}{3}$	$+\frac{2}{15}{x}^5$	-0.293	0.293	-0.519	0.519	-0.895	0.895
		$-{16.8}^{\circ }$	16.8°	$-{29.7}^{\circ }$	29.7°	$-{51.3}^{\circ }$	51.3°
$\sqrt{a^2+x}\approx a+\frac{x}{2a}$ $=\frac{1}{2}\left(a+\frac{a^2+x}{a}\right)$	$-\frac{x^2}{8a^3}$	$-0.085a^2$	$0.093a^2$	$-0.247a^2$	$0.328a^2$	$-0.607a^2$	$1.545a^2$
$\frac{1}{\sqrt{a^2+x}}\approx \frac{1}{a}-\frac{x}{2a^3}$	$+\frac{3x^2}{8a^5}$	$-0.051a^2$	$0.052a^2$	$-0.157a^2$	$0.166a^2$	$-0.488a^2$	$0.530a^2$
$\frac{1}{a+x}\approx \frac{1}{a}-\frac{x}{a^2}$	$+\frac{x^2}{a^3}$	$-0.031a$	$0.031a$	$-0.099a$	$0.099a$	$-0.301a$	$0.301a$
${\mathrm{e}}^x\approx 1+x$	$+\frac{x^2}{2}$	-0.045	0.045	-0.134	0.148	-0.375	0.502
$\ln \left(1+x\right)\approx x$	$-\frac{x^2}{2}$	-0.002	0.002	-0.020	0.020	-0.176	0.230

2. 渐近幂级数的性质

a) 唯一性 若函数 $f\left(x\right)$ 的渐近幂级数存在,则唯一,但是渐近幂级数并不能确定唯一一个函数.

b) 收敛性 渐近幂级数不要求收敛.

$◼\mathbf{A}$: ${\mathrm{e}}^{\frac{1}{x}}\approx \sum _{\nu =0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{\nu !x^{\nu }}$ 是一渐近级数,且对满足 $\left|x\right|>x_0\left(x_0>0\right)$ 的每个 $x$ 均收敛. B: 当 $x>0$ 时积分 $f\left(x\right)={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{{\mathrm{e}}^{-xt}}{1+t}\mathrm{d}t$ 收敛,反复分部积分可得表达式 $f\left(x\right)=$ $\frac{1}{x}-\frac{1!}{x^2}+\frac{2!}{x^3}-\frac{3!}{x^4}\pm \cdots +{(-1)}^{n-1}\frac{\left(n-1\right)!}{x^n}+R_n\left(x\right)$ ,其中

$$R_n\left(x\right)={(-1)}^n\frac{n!}{x^n}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{{\mathrm{e}}^{-xt}}{{(1+t)}^{n+1}}\mathrm{d}t.$$

又 $\left|R_n\left(x\right)\right|\le \frac{n!}{x^n}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{-xt}\mathrm{d}t=\frac{n!}{x^{n+1}}$ ,有 $R_n\left(x\right)=O\left(\frac{1}{x^{n+1}}\right)$ ,且有估计

$$\begin{array}{}\text{(7.100)}& {\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{{\mathrm{e}}^{-xt}}{1+t}\mathrm{d}t\approx \sum _{\nu =0}^{\mathrm{\infty }}{(-1)}^{\nu }\frac{\nu !}{x^{\nu +1}}.\end{array}$$

渐近幂级数 (7.100) 的第 $n+1$ 项与第 $n$ 项商的绝对值为 $\frac{n}{x}$ ,故该级数对每个 $x$ 均发散,然而它却完美地近似于 $f\left(x\right)$ . 例如,当 $x=10$ 时,用部分和 $S_4\left(10\right)$ 和 $S_5\left(10\right)$ 可估计出 $0.09152<{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{{\mathrm{e}}^{-10t}}{1+t}\mathrm{d}t<0.09164$ .