4.5.1 线性系, 选主元法

4.5.1.1 线性系

一个线性系含 $m$ 个线性型

$$y_1=a_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n+a_1,$$$$y_2=a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n+a_2,$$

......

$$y_m=a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+\cdots +a_{mn}{x}_n+a_m$$

或

$$\begin{array}{}\text{(4.174a)}& \underset{―}{\mathbf{y}}=\mathbf{A}\underset{―}{\mathbf{x}}+\underset{―}{\mathbf{a}},\end{array}$$

其中

$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right),\underset{―}{\mathbf{a}}=\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ ⋮\\ a_m\end{array}\right),\underset{―}{\mathbf{x}}=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right),\underset{―}{\mathbf{y}}=\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ ⋮\\ y_m\end{array}\right).$$

(4.174b)

大小为(m, n)的矩阵 $\mathbf{A}$ 的元素 $a_{\mu \nu }$ 及列向量 $\underset{―}{\mathbf{a}}$ 的分量 $a_{\mu }\left(\mu =1,2,\cdots ,n\right)$ 是常数. 列向量 $\underset{―}{x}$ 的分量 $x_{\nu }\left(\nu =1,2,\cdots ,n\right)$ 是独立变量,列向量 $\underset{―}{y}$ 的分量 $x_{\mu }(\mu =$ $1,2,\cdots ,m)$ 是相关变量.

4.5.1.2 选主元法

1. 选主元法格式

如果 (4.174a) 中元素 $a_{ik}$ 不等于零,那么在所谓选主元步骤中,变量 $y_i$ 可调换为独立变量,而变量 $x_k$ 可调换为相关变量. 选主元步骤是主元法的基本组成部分, 应用它可以解 (例如) 线性方程组和线性最优化问题. 通过对应于方程组 (4.174a) 的格式:

	$x_1$	$x_2$	...	$x_k$	...	$x_n$	1
$y_1$	$a_{11}$	$a_{12}$	...	$a_{1k}$	...	$a_{1n}$	$a_1$
$y_2$	$a_{21}$	$a_{22}$	...	$a_{2k}$	...	$a_{2n}$	$a_2$
$⋮$	$⋮$	$⋮$		$⋮$		$⋮$	$⋮$
$y_i$	$a_{i1}$	$a_{i2}$	...	$a_{ik}$	...	$a_{in}$	$a_i$
$⋮$	$⋮$	$⋮$		$⋮$		$⋮$	$⋮$
$y_m$	$a_{m1}$	$a_{m2}$	...	$a_{mk}$	...	$a_{mn}$	$a_m$
$x_k$	${\alpha }_{i1}$	${\alpha }_{i2}$		${\alpha }_{ik}$	...	${\alpha }_{in}$	${\alpha }_i$

选主元步骤得到格式:(4.175)

	$x_1$	$x_2$	...	$x_k$	...	$x_n$	1
$y_1$	${\alpha }_{11}$	${\alpha }_{12}$	...	${\alpha }_{1k}$	...	${\alpha }_{1n}$	${\alpha }_1$
$y_2$	${\alpha }_{21}$	${\alpha }_{22}$	...	${\alpha }_{2k}$	...	${\alpha }_{2n}$	${\alpha }_2$
$⋮$	$⋮$	$⋮$		$⋮$		$⋮$
$x_i$	${\alpha }_{i1}$	${\alpha }_{i2}$	...	${\alpha }_{ik}$	...	${\alpha }_{in}$	${\alpha }_i$
$⋮$	$⋮$	$⋮$		$⋮$		$⋮$	$⋮$
$y_m$	${\alpha }_{m1}$	${\alpha }_{m2}$	...	${\alpha }_{mk}$	...	${\alpha }_{mn}$	${\alpha }_m$

2. 选主元法则

在格式中画了框的元素 $a_{ik}\left(a_{ik}\ne 0\right)$ 称为主元; 它位于主列和主行的交点处. 右边新格式中元素 ${\alpha }_{\mu \nu }$ 和 ${\alpha }_{\mu }$ 按下列选主元法则计算:

(1) ${\alpha }_{ik}=\frac{1}{a_{ik}}$ ;(4.176a)

(2) ${\alpha }_{\mu k}=\frac{a_{\mu k}}{a_{ik}}\left(\mu =1,\cdots ,m;\mu \ne i\right)$ ;(4.176b)

(3) ${\alpha }_{i\nu }=-\frac{a_{i\nu }}{a_{ik}},{\alpha }_i=-\frac{a_i}{a_{ik}}\left(\nu =1,2,\cdots ,n;\nu \ne k\right)$ ;(4.176c)

(4) ${\alpha }_{\mu \nu }=a_{\mu \nu }-a_{\mu k}\frac{a_{i\nu }}{a_{ik}}=a_{\mu \nu }+a_{\mu k}{\alpha }_{i\nu },{\alpha }_{\mu }=a_{\mu }+a_{\mu k}{\alpha }_i$ (对每个 $\mu \ne i$ 及每个 $\nu \ne k$ ).(4.176d)

为使计算容易些 (法则 4),我们将元素 ${\alpha }_{i\nu }$ 写在选主元法格式的第 $m+1$ 行 (最低行). 应用这个选主元法则可以调换其他变量.

4.5.1.3 线性相关性

如果每个 $y_{\mu }$ 都可以调换为某个独立变量 $x_{\nu }$ ,那么线性型 (4.174a) 是线性无关的 (参见第 732 页 9.1.2.3, 2.). 线性无关性将用来 (例如) 确定矩阵的秩. 不然, 可直接由选主元法格式找出相关性关系.

$◼$ 3 次选主元步骤后 (例如 $y_4\to x_4,y_2\to x_1,y_1\to x_3$ ) 下列左表变成右表:

	$x_1$	$x_2$	$x_3$	$x_4$	1
$y_1$	2	1	1	0	-2
$y_2$	1	-1	0	0	2
$y_3$	1	5	2	0	0
$y_4$	0	2	0	1	0

		$y_2$	$x_2$	$y_1$	$y_4$	1
	$x_3$	-2	-3	1	0	6
	$x_1$	1	1	0	0	-2
	$y_3$	-3	0	2	0	10
	$x_4$	0	-2	0	1	0

因为 ${\alpha }_{32}=0$ ,所以不可能作进一步的调换,并且可以看到相关关系: $y_3=2y_1-$ $3y_2+10$ . 对于另外一个主元法序列,仍然有一对不可调换的变量.

4.5.1.4 逆矩阵的计算

如果 $\mathbf{A}$ 是一个 $n\times n$ 正则矩阵,那么对于方程组 $\underset{―}{\mathbf{y}}=\mathbf{A}\underset{―}{\mathbf{x}}$ 应用选主元法实施 $n$ 次步骤就可得到逆矩阵 ${\mathbf{A}}^{-1}$ .$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{lll}3& 5& 1\\ 2& 4& 5\\ 1& 2& 2\end{array}\right)\Rightarrow$重新排列元素后就得到 ${\mathbf{A}}^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}2& 8& -21\\ -1& -5& 13\\ 0& 1& -2\end{array}\right)$ . (按 $y_i$ 的下标重排矩阵的列, 按 $x_k$ 的下标重排矩阵的行.)

	$x_1$	$x_2$	$x_3$
$y_1$	3	5	1
$y_2$	2	4	7 5
$y_3$		2	2

		$y_3$	$x_2$	$x_3$
	$y_1$	3	-1	-5
	$y_2$	2	0	7
	$x_1$		-2	-2

	$y_3$	$x_2$	$y_2$
$y_1$	13	-1	-5
$x_3$	-2	0	1
$x_1$	5	-2	-2

	$y_3$	$y_1$	$y_2$
$x_2$	13	-1	-5
$x_3$	-2	0	1
$x_1$	-21	2	8