2.11.3 笛卡儿叶形线

方程

$$\begin{array}{}\text{(2.227a)}& x^3+y^3=3axy\left(a>0\right)\end{array}$$

或参数方程

$$x=\frac{3at}{1+t^3},y=\frac{3a{t}^2}{1+t^3},$$

其中

$$\begin{array}{}\text{(2.227b)}& t=\tan \nless POx\left(a>0,-\mathrm{\infty }<t<-1,-1<t<\mathrm{\infty }\right)\end{array}$$

确定了笛卡儿叶形线, 如图 2.59 所示. 曲线两次通过原点, 故原点为二重点, 坐标轴为该点处的切线. 原点处两曲线分支的曲率半径均为 $r=\frac{3a}{2}$ ,渐近线方程为 $x+y+a=0$ ,顶点 $A$ 的坐标为 $\left(\frac{3}{2}a,\frac{3}{2}a\right)$ . 环部面积 $S_1=\frac{3a^2}{2}$ ,曲线与渐近线围成的面积 $S_2$ 的值与之相同.