19.7.2 双三次样条

19.7.2.1 使用双三次样条

双三次样条用于如下问题: $x,y$ 平面的矩形 $R:a\le x\le b,c\le y\le d$ ,被节点 $\left(x_i,y_j\right)\left(i=0,1,\cdots ,n;j=0,1,\cdots ,m\right)$ 剖分为子区域 $R_{ij}$ ,

$$\begin{array}{}\text{(19.244)}& a=x_0<x_1<\cdots <x_n=b,c=y_0<y_1<\cdots <y_m=d,\end{array}$$

其中子区域 $R_{ij}$ 包含点 $\left(x,y\right):x_i\le x\le x_{i+1},y_j\le y\le y_{j+1}(i=0,1,\cdots ,n;j=0$ , $1,\cdots ,m)$ . 在节点给定函数值 $f\left(x,y\right)$ :

$$\begin{array}{}\text{(19.245)}& f\left(x_i,y_j\right)=f_{ij}\left(i=0,1,\cdots ,n;j=0,1,\cdots ,m\right).\end{array}$$

要求 $R$ 上可能简单的光滑曲面逼近点 (19.245).

19.7.2.2 双三次插值样条

1. 性质

双三次插值样条 $S\left(x,y\right)$ 由下列性质唯一确定.

(1) $S\left(x,y\right)$ 满足插值条件

$$\begin{array}{}\text{(19.246)}& S\left(x_i,y_j\right)=f_{ij}\left(i=0,1,\cdots ,n;j=0,1,\cdots ,m\right).\end{array}$$

(2) $S\left(x,y\right)$ 在矩形 $R$ 的每个子区域 $R_{ij}$ 恒等于一个双三次多项式,即在 $R_{ij}$ 有

$$\begin{array}{}\text{(19.247)}& S\left(x,y\right)=S_{ij}\left(x,y\right)=\sum _{k=0}^3\sum _{l=0}^3{a}_{ijkl}{(x-x_i)}^k{(y-y_j)}^l,\end{array}$$

故 $S_{ij}\left(x,y\right)$ 由 16 个系数确定,而为了确定 $S\left(x,y\right)$ 需要 $16mn$ 个系数.

(3) 导数

$$\begin{array}{}\text{(19.248)}& \frac{\partial S}{\partial x},\frac{\partial S}{\partial y},\frac{{\partial }^{2}S}{\partial x\partial y}\end{array}$$

在区域 $R$ 上是连续的,从而在整个曲面上保证某种光滑性.

(4) $S\left(x,y\right)$ 满足特殊的边界条件:

$$\frac{\partial S}{\partial x}\left(x_i,y_i\right)=p_{ij},i=0,n;j=0,1,\cdots ,m,$$$$\begin{array}{}\text{(19.249)}& \frac{\partial S}{\partial y}\left(x_i,y_i\right)=q_{ij},i=0,1,\cdots ,n;j=0,m,\end{array}$$$$\frac{{\partial }^{2}S}{\partial x\partial y}\left(x_i,y_i\right)=r_{ij},i=0,n;j=0,m,$$

这里 $p_{ij},q_{ij},r_{ij}$ 是预先给定的值.

一维三次样条插值的结果可用来确定系数 $a_{ijkl}$ .

(1) 线性方程组的个数 $2n+m+3$ 非常大,但其系数矩阵是三对角矩阵.

(2)线性方程组仅右端项不同.

一般对于计算量和精度来说, 双三次插值样条是有用的. 故对于实际应用它们是合适的. 计算系数的实际方法见文献.

2. 张量积方法

双三次样条法 (19.247) 是形如

$$\begin{array}{}\text{(19.250)}& S\left(x,y\right)=\sum _{i=0}^n\sum _{j=0}^m{a}_{ij}{g}_i\left(x\right)h_j\left(y\right)\end{array}$$

的所谓张量积方法的一个例子. 该法特别适用于矩形网格上的逼近. 函数 $g_i\left(x\right)(i=$ $0,1,\cdots ,n)$ 和 $h_j\left(x\right)\left(j=0,1,\cdots ,m\right)$ 组成两个线性无关的函数组. 从数值观点看张量积方法有大的优势, 例如二维插值问题 (19.246) 可以降为一维问题求解. 进一步说, 若:

(1) 函数 $g_i\left(x\right)$ 关于插值节点 $x_0,x_1,\cdots ,x_n$ 的一维插值问题,以及

(2) 函数 $h_j\left(x\right)$ 关于插值节点 $y_0,y_1,\cdots ,y_m$ 的一维插值问题都是唯一可解的, 则二维插值问题 (19.246) 用方法 (19.250) 唯一可解. 一个重要的张量积方法是使用三次 B 样条:

$$\begin{array}{}\text{(19.251)}& S\left(x,y\right)=\sum _{i=1}^{r+2}\sum _{j=1}^{p+2}{a}_{ij}{N}_{i,4}\left(x\right)N_{j,4}\left(y\right),\end{array}$$

这里,函数 $N_{i,4}\left(x\right)$ 和 $N_{j,4}\left(y\right)$ 为 4 阶正规化 $\mathrm{B}$ 样条, $r$ 表示关于 $x$ 的节点个数, $p$ 表示关于 $y$ 的节点个数. 节点可自由选取,但其位置必须满足插值问题的某种可解性条件.

B 样条方法得到有带状结构系数矩阵的线性方程组, 这是对数值求解有用的结构.

用双三次 B 样条求解不同的插值问题见文献.

19.7.2.3 双三次光滑样条

一维三次近似样条主要以最优条件 (19.242) 为特征. 对于二维情况可能有一整列相应的最优条件, 但是仅有很少特殊的情况可能存在唯一解. 用双三次 B 样条解逼近问题的适当的最优条件和算法见文献.