2.8.1 反三角函数的定义

现在针对正弦函数的反函数来说明如何定义反三角函数 (图 2.43), 反正弦函数通常记为 $\arcsin x.y=\sin x$ 的定义域可以分解成单调区间 $k\pi -\frac{\pi }{2}\le x\le k\pi +\frac{\pi }{2}$ , $k=0,\pm 1,\pm 2,\cdots$ .

曲线 $y=\sin x$ 沿直线 $y=x$ 反射得到其反函数

$$\begin{array}{}\text{(2.140a)}& y={\mathrm{arc}}_k\sin x\end{array}$$

曲线, 其中定义域和值域分别为

$-1\le x\le +1$ 和 $k\pi -\frac{\pi }{2}\le y\le k\pi +\frac{\pi }{2}$ ,其中 $k=0,\pm 1,\pm 2,\cdots$ .(2.140b)$y={\mathrm{arc}}_k\sin x$ 亦即 $x=\sin y.$

类似地,可以得到其他反三角函数,如图 2.44 时2.44 $\beta$ B.4.6所示,这些反函数的定义域和值域见表 2.6 .

图 2.44 图 2.43

图 2.45 图 2.46

反函数	定义域	值域	具有相同意义的三角函数
arcsin $y={\mathrm{arc}}_k\sin x$	$-1\le x\le 1$	$k\pi -\frac{\pi }{2}\le y\le k\pi +\frac{\pi }{2}$	$x=\sin y$
arccos $y={\mathrm{arc}}_k\cos x$	$-1\le x\le 1$	$k\pi \le y\le \left(k+1\right)\pi$	$x=\cos y$
arctan $y={\mathrm{arc}}_k\tan x$		$k\pi -\frac{\pi }{2}<y<k\pi +\frac{\pi }{2}$	$x=\tan y$
arccot $y={\mathrm{arc}}_k\cot x$	$-\mathrm{\infty }<x<\mathrm{\infty }$	$k\pi <y<\left(k+1\right)\pi$	$x=\cot y$

$k=0,\pm 1,\pm 2,\cdots$ ,当 $k=0$ 时,得到反三角函数的主值,通常用不含指标的记号表示, 如 $\arcsin x\equiv {\mathrm{arc}}_0\sin x$ .