5.3.3 群

5.3.3.1 定义和基本性质

1. 定义、阿贝尔群

一个具有二元运算 $\ast$ 的集合 $G$ 称为群,如果

• • 是结合的,
• • 有中性元素 $e$ ,并且对于每个元素 $a\in G$ 存在一个逆元 $a^{-1}$ 使得

$$\begin{array}{}\text{(5.83)}& a\ast a^{-1}=a^{-1}\ast a=e.\end{array}$$

群是特殊的半群.

群的中性元素是唯一的, 也就是说, 仅有一个中性元素. 此外, 群中每个元素恰有一个逆. 如果运算 $\ast$ 是交换的,那么这个群称为阿贝尔群. 如果群运算写成加,即 +,那么中性元素记作 0,并且元素 $a$ 的逆记作 $-a$ .

有限群中元素个数称为群的阶.

群的例子

$◼\mathbf{A}$: 数的区域 ( $\mathbb{N}$ 除外) 中的数关于加法.

$◼\mathbf{B}$: $\mathbb{Q}\setminus \{0\},\mathbb{R}\setminus \{0\}$ ,以及 $\mathbb{C}\setminus \{0\}$ 关于乘法.

$◼\mathbf{C}$: $S_M=\{f:M\to M\wedge f$ 是双射 $\}$ 关于映射的复合. 这个群称为对称群.

如果 $M$ 是有 $n$ 个元素的有限集,那么 $S_M$ 写成 $S_n.S_n$ 有 $n$ ! 个元素. 对称群 $S_n$ 及其子群称为置换群. 例如,二面体群 $D_n$ 是置换群,并且是 $S_n$ 的子群.

$◼\mathbf{D}$: 考虑平面上一个正 $n$ 角形的所有覆盖变换的集合 $D_n$ . 这里覆盖变换是 $n$ 角形的两个对称位置间的转换,即将 $n$ 角形移动到某个可重合的位置. 用 $d$ 表示转角为 $2\pi /n$ 的旋转, $\sigma$ 是关于轴的反射,那么 $D_n$ 有 $2n$ 个元素

$$D_n=\left\{e,d,d^2,\cdots ,d^{n-1},\sigma ,d\sigma ,\cdots ,d^{n-1}\sigma \right\}.$$

$D_n$ 关于映射的复合是一个群,即二面体群. 这里等式 $d^n={\sigma }^2=e$ 和 $\sigma d=d^{n-1}\sigma$ 成立.

$◼\mathbf{E}$: 所有实数或复数上的正则矩阵 (参见第 367 页 4.1.4) 关于乘法是一个群.

注 矩阵在应用中起着非常重要的作用, 特别是在线性变换的表示中. 线性变换可以用矩阵群分类.

2. 群表或凯莱表

凯莱表或群表用来表示有限群: 用行和列中的字符记群的元素. 元素 $a\ast b$ 位于元素 $a$ 所在行与元素 $b$ 所在列的相交处.

$◼$ 如果 $M=\{1,2,3\}$ ,那么对称群 $S_M$ 也记作 $S_3.S_3$ 由集合 $\{1,2,3\}$ 的所有双射 (置换) 组成,因此它有 $3!=6$ 个元素 (参见第 1053 页 16.1.1). 置换经常用两行表示,其中第一行是 $M$ 的元素,在每个元素下面是它的象. 例如, $S_3$ 的 6 个元素是

$$\begin{array}{}\text{(5.84)}& \epsilon =\left(\begin{array}{lll}1& 2& 3\\ 1& 2& 3\end{array}\right),p_1=\left(\begin{array}{lll}1& 2& 3\\ 1& 3& 2\end{array}\right),p_2=\left(\begin{array}{lll}1& 2& 3\\ 3& 2& 1\end{array}\right),\end{array}$$$$p_3=\left(\begin{array}{lll}1& 2& 3\\ 2& 1& 3\end{array}\right),p_4=\left(\begin{array}{lll}1& 2& 3\\ 2& 3& 1\end{array}\right),p_5=\left(\begin{array}{lll}1& 2& 3\\ 3& 1& 2\end{array}\right).$$

逐次应用这些映射 (二元运算) 可得到 $S_3$ 的群表如下:(5.85)

。	$\epsilon$	$p_1$	$p_2$	$p_3$	$p_4$	$p_5$
$\epsilon$	$\epsilon$	$p_1$	$p_2$	$p_3$	$p_4$	$p_5$
$p_1$	$p_1$	$\epsilon$	$p_5$	$p_4$	$p_3$	$p_2$
$p_2$	$p_2$	$p_4$	$\epsilon$	$p_5$	$p_1$	$p_3$
$p_3$	$p_3$	$p_5$	$p_4$	$\epsilon$	$p_2$	$p_1$
$p_4$	$p_4$	$p_2$	$p_3$	$p_1$	$p_5$	$\epsilon$
$p_5$	$p_5$	$p3$	$p_1$	$p_2$	$\epsilon$	$p_4$

• 由群表可见恒等置换 $\epsilon$ 是群的中性元素.

• 在群表中每个元素在每行和每列都恰只出现一次.

• 在表中容易识别任何群元素的逆,即 $S_3$ 中 $p_4$ 的逆是 $p_5$ ,因为 $p_4$ 所在行与 $p_5$ 所在列相交处是中性元素 $\epsilon$ .

• 如果群运算是交换的 (阿贝尔群),那么表关于 “主对角线” 对称; $S_3$ 不对称,因为,例如, $p_1\circ p_2\ne p_2\circ p_1$ .

• 不易从表识别结合性.

5.3.3.2 子群和直接积

1. 子群

设 $G=\left(G,\ast \right)$ 是一个群,并且 $U\subseteq G$ . 如果 $U$ 关于 $\ast$ 也是一个群,那么 $u=\left(U,\ast \right)$ 称为 $G$ 的子群.

群 $\left(G,\ast \right)$ 的非空子集 $U$ 是 $G$ 的子群,当且仅当对于每个 $a,b\in U$ ,元素 $a\ast b$ 和 $a^{-1}$ 也在 $U$ 中 (子群判别法).

(1) 循环子群 群 $G$ 自身及 $E=\{e\}$ 是 $G$ 的子群,即所谓平凡子群. 此外,每个元素 $a\in G$ 对应一个子群,即所谓由 $a$ 生成的循环子群:

$$\begin{array}{}\text{(5.86)}& ⟨a⟩=\left\{\cdots ,a^{-2},a^{-1},e,a,a^2,\cdots \right\}.\end{array}$$

如果群运算是加法,那么用整数倍 $ka$ (是 $a$ 与自身的 $k$ 次相加的简记号) 代替幂 $a^k$ (是 $a$ 与自身的 $k$ 次运算的简记号),我们写出

$$\begin{array}{}\text{(5.87)}& ⟨a⟩=\{\cdots ,\left(-2\right)a,-a,0,a,2a,\cdots \},\end{array}$$

这里 $⟨a⟩$ 是含有 $a$ 的最小子群. 如果对于 $G$ 的某个元素 $a$ 有 $⟨a⟩=G$ ,那么 $g$ 称为循环的.

存在无限循环群,例如, $\mathbb{Z}$ 关于加法,也存在有限循环群,例如, $Z_m$ (模 $m$ 剩余类集关于剩余类加法)(参见第 505 页 $5.4.3,3.)$ .

• 如果有限群 $G$ 的元素个数是素数,那么 $G$ 总是循环的.

(2)一般化 循环群的概念可以推广如下:如果 $M$ 是群 $G$ 的非空子集,那么将 $G$ 的这种子群记作 $⟨M⟩$ : 其元素可以写成有限多个 $M$ 的元素及它们的逆之积的形式. 子集 $M$ 称为 $⟨M⟩$ 的生成元系. 如果 $M$ 仅含一个元素,那么 $⟨M⟩$ 是循环的.

(3) 群的阶,左陪集和右陪集 群论中有限群的元素个数记作 $\mathrm{ord}G$ . 如果由一个元素 $a$ 生成的循环子群是有限的,那么这个阶也称为元素 $a$ 的阶,即 $\mathrm{ord}⟨a⟩=$ ord $a$ .

如果 $U$ 是群 $\left(G,\ast \right)$ 的子群,以及 $a\in G$ ,那么 $G$ 的子集

$$\begin{array}{}\text{(5.88)}& aU\text{:=}\{a\ast u\mid u\in U\}\text{ 和 }Ua\text{:=}\{u\ast a\mid u\in U\}\end{array}$$

称为 $U$ 在 $G$ 中的左陪集和右陪集. 左陪集或右陪集分别形成 $G$ 的分拆 (参见第 448 页 5.2.4, 2.).

子群 $U$ 在 $G$ 中的所有左陪集或右陪集有相同的元素个数,即 $\mathrm{ord}U$ . 由此推出左陪集的个数等于右陪集的个数. 这个个数称为 $U$ 在 $G$ 中的指标. 从这些事实可推出拉格朗日定理.

(4)拉格朗日定理 子群的阶是群的阶的因子.

一般难于确定一个群的所有子群. 在有限群的情形中, 拉格朗日定理作为子群存在性的必要条件是有用的.

2. 正规子群或不变子群

一般地,对于子群 $U,aU$ 与 $Ua$ 不同 (但 $\left|aU\right|=\left|Ua\right|$ 成立). 如果对于所有 $a\in G$ 有 $aU=Ua$ ,那么 $U$ 称为 $G$ 的正规子群或不变子群. 这些特殊的子群是形式因子群的基础 (参见第 455 页 5.3.3.3, 3.).

显然在阿贝尔群中每个子群都是正规子群.

子群和正规子群的例子

$◼\mathbf{A}$: $\mathbb{R}\setminus \{0\},\mathbb{Q}\setminus \{0\}$ 关于乘法形成 $\mathbb{C}\setminus \{0\}$ 的子群.

$◼\mathbf{B}$: 偶数关于加法形成 $\mathbb{Z}$ 的子群.

$◼\mathbf{C}$: $S_3$ 的子群: 依据拉格朗日定理有 6 个元素的群 $S_3$ 可能仅有 2 个或 3 个元素的子群 (平凡子群除外). 事实上, $S_3$ 有下列子群: $E=\{\epsilon \},U_1=\left\{\epsilon ,p_1\right\},U_2=$ $\left\{\epsilon ,p_2\right\},U_3=\left\{\epsilon ,p_3\right\},U_4=\left\{\epsilon ,p_4,p_5\right\},S_3$ . 非平凡子群 $U_1,U_2,U_3$ 及 $U_4$ 是循环的, 因为它们的元素个数是素数. 但群 $S_3$ 不是循环的. 除平凡正规子群外, $S_3$ 仅有 $U_4$ 是其正规子群.

无论如何,群 $G$ 的每个满足 $\left|U\right|=\left|G\right|/2$ 的子群 $U$ 是 $G$ 的正规子群.

每个对称群 $S_M$ 及其子群称为置换群.

$◼\mathbf{D}$ : 所有(n, n)型的正则矩阵关于矩阵乘法的群 $\mathrm{GL}\left(n\right)$ 的特殊子群:

$\mathrm{SL}\left(n\right)$ 所有行列式为 1 的矩阵 $A$ 的群.

$O\left(n\right)$ 所有正交矩阵的群.

$\mathrm{SO}\left(n\right)$ 所有行列式为 1 的正交矩阵的群.

群 $\mathrm{SL}\left(n\right)$ 是 $\mathrm{GL}\left(n\right)$ 的正规子群 (参见第 455 页 5.3.3.3,3.), $\mathrm{SO}\left(n\right)$ 是 $O\left(n\right)$ 的正规子群.

$◼\mathbf{E}$: 作为所有(n, n)型复矩阵 (参见第 365 页 4.1.4) 的子群:

$U\left(n\right)$ 所有酉矩阵的群.

$\mathrm{SU}\left(n\right)$ 所有行列式为 1 的酉矩阵的群.

3. 直接积

(1) 定义 设 $A$ 和 $B$ 是群,其群运算 (例如加或乘) 记作 $\cdot$ . 在笛卡儿积 (参见第 443 页 5.2.2,4.) $A\times B$ 中运算 $\ast$ 可以用下列方式引进:

$$\begin{array}{}\text{(5.89a)}& \left(a_1,b_1\right)\ast \left(a_2,b_2\right)=\left(a_1\cdot a_2,b_1\cdot b_2\right).\end{array}$$

$A\times B$ 关于这个运算成为一个群,并称作 $A$ 和 $B$ 的直接积.(e, e)表示 $A\times B$ 的单位元, $\left(a^{-1},b^{-1}\right)$ 是(a, b)的逆元素. 对于有限群 $A,B$ ,有

$$\begin{array}{}\text{(5.89b)}& \mathrm{ord}\left(A\times B\right)=\mathrm{ord}A\cdot \mathrm{ord}B.\end{array}$$

群 $A^{\prime }\text{:=}\{\left(a,e\right)\mid a\in A\}$ 和 $B^{\prime }\text{:=}\{\left(e,b\right)\mid b\in B\}$ 是 $A\times B$ 的分别同构于 $A$ 和 $B$ 的正规子群.

阿贝尔群的直接积仍然是阿贝尔群.

两个循环群 $A,B$ 的直接积是循环的,当且仅当两个群的阶的最大公因子等于 1 .

$◼\mathbf{A}$: 取 $Z_2=\{e,a\}$ 及 $Z_3=\left\{e,b,b^2\right\}$ ,直接积

$$Z_2\times Z_3=\left\{\left(e,e\right),\left(e,b\right),\left(e,b^2\right),\left(a,e\right),\left(a,b\right),\left(a,b^2\right)\right\}$$

是一个由(a, b)生成的同构于 $Z_6$ 的群 (参见第 455 页5.3.3.3,2.).

$◼\mathbf{B}$: 另一方面, $Z_2\times Z_2=\{\left(e,e\right),\left(e,b\right),\left(a,e\right),\left(a,b\right)\}$ 不是循环的. 这个群的阶为 4 , 也称它为克莱因四元群, 并且它刻画了长方形的覆盖运算.

(2) 阿贝尔群的基本定理 因为直接积是一个能够从 “较小的” 群做出 “较大的” 群的构造,所以问题可以反向讨论: 何时有可能将较大的群 $G$ 看作较小的群 $A,B$ 的直接积,也就是,何时 $G$ 能同构于 $A\times B$ ? 对于阿贝尔群,有所谓基本定理:

每个有限阿贝尔群可以表示为阶为素数幂的循环群的直接积.

5.3.3.3 群间的映射

1. 同态与同构

(1) 群同态 我们考虑的代数结构之间的映射, 并非是任意的, 而是 “保持结构” 的映射: 设 $G_1=\left(G_1,\ast \right)$ 和 $G_2=\left(G_2,\circ \right)$ 是两个群. 映射 $h:G_1\to G_2$ 称为群同态,如果对于所有 $a,b\in G_1$ 有

$$\begin{array}{}\text{(5.90)}& h\left(a\ast b\right)=h\left(a\right)\circ h\left(b\right)\text{ (“积的象等于象的积”). }\end{array}$$

$◼$ 作为例子, 考虑行列式的乘法律 (参见第 374 页 4.2.2, 7.):

$$\begin{array}{}\text{(5.91)}& det\left(AB\right)=det\left(A\right)det\left(B\right),\end{array}$$

其中右边是非零数的积, 左边是正则矩阵的积.

如果 $h:G_1\to G_2$ 是群同态,那么 $G_1$ 中象为 $G_2$ 的中性元素的那些元素的集合称为 $h$ 的核,并记作 $\ker h.h$ 的核是 $G_1$ 的正规子群.

(2) 群同构 如果群同态 $h$ 是双射,那么 $h$ 称为群同构,并且群 $G_1$ 和 $G_2$ 称为互相同构(记号: $G_1\cong G_2$ ). 于是有 $\ker h=E$ .

同构的群有相同的结构, 即它们的差别仅在于它们元素的记号.

对称群 $S_3$ 和二面体群 $D_3$ 是同构的 6 阶群,并且刻画等边三角形的覆盖映射.

2. 凯莱定理

凯莱定理指出每个群可以解释为是一个置换群 (参见第 454 页 5.3.3.2, 2.):

每个群同构于一个置换群.

以将 $a$ 映为 $G\ast g$ 的置换 ${\pi }_g\left(g\in G\right)$ 为元素的置换群 $P$ 是 $S_G$ 的一个同构于 $\left(G,\ast \right)$ 的子群.

3. 群的同态定理

群 $G$ 的正规子群 $N$ 的陪集的集合关于群运算也是一个群:

$$\begin{array}{}\text{(5.92)}& aN\circ bN=abN.\end{array}$$

它称为 $G$ 关于 $N$ 的商群,并记为 $G/N$ .

下列定理给出群的同态象与商群间的对应, 因而它被称为群的同态定理:

群同态 $h:G_1\to G_2$ 定义 $G_1$ 的一个正规子群,即 $\ker h=\left\{a\in G_1\mid h\left(a\right)=e\right\}$ . 商群 $G_1/\ker h$ 同构于同态象 $h\left(G_1\right)=\left\{h\left(a\right)\mid a\in G_1\right\}$ . 反之, $G_1$ 的每个正规子群 $N$ 通过 ${\mathrm{nat}}_N\left(a\right)=aN$ 定义一个同态映射 ${\mathrm{nat}}_N:G_1\to G_1/N$ . 映射 ${\mathrm{nat}}_N$ 称为自然同态.

因为行列式构造 $det:\mathrm{GL}\left(n\right)\to \mathbb{R}\setminus \{0\}$ 是一个核为 $\mathrm{SL}\left(n\right)$ 的群同态,所以 $\mathrm{SL}\left(n\right)$ 是 $\mathrm{GL}\left(n\right)$ 的正规子群,并且 (依据同态定理): $\mathrm{GL}\left(n\right)/\mathrm{SL}\left(n\right)$ 同构于实数的乘法群 $\mathbb{R}\setminus \{0\}$ (关于记号参见第 453 页 5.3.3.2,2.).