8.4.1 二重积分

8.4.1.1 二重积分的概念

1. 定义

二元函数 $u=f\left(x,y\right)$ 在 $xOy$ 面内平面区域 $S$ 上的二重积分记为

$$\begin{array}{}\text{(8.134)}& {\int }_{S}f\left(x,y\right)\mathrm{d}S={\iint }_{S}f\left(x,y\right)\mathrm{d}y\mathrm{d}x.\end{array}$$

若二重积分存在, 则它是一个数, 且可按下面方法来定义 (图 8.30):

(1) 将区域 $S$ 划分成 $n$ 个小区域 $\mathrm{\Delta }{S}_i$ .

(2)在每个小区域的内部或边界任取一点 $P_i\left(x_i,y_i\right)$ .

(3) 用函数在点 $P_i\left(x_i,y_i\right)$ 的值 $u=f\left(x_i,y_i\right)$ 乘以相应小区域的面积 $\mathrm{\Delta }{S}_i$ .

(4) 所有乘积 $f\left(x_i,y_i\right)\mathrm{\Delta }{S}_i$ 作和.

(5) 当每个小区域的直径趋于 0,即 $\mathrm{\Delta }{S}_i\to 0,n\to \mathrm{\infty }$ 时,计算和式

$$\begin{array}{}\text{(8.135a)}& \sum _{i=1}^{n}f\left(x_i,y_i\right)\mathrm{\Delta }{S}_i\end{array}$$

的极限. (点集的直径是指集合中任意两点间距离的上确界. ) 此处仅要求 $\mathrm{\Delta }S\to 0$ 还远远不够, 比如对矩形而言, 若一边足够小, 另一边不作要求, 便能满足面积趋于 0,但所考虑的点可能彼此相距甚远. 若该极限与区域 $S$ 划成小区域的分法无关,与点 $P_i\left(x_i,y_i\right)$ 的取法也无关,即极限存在,则称其为函数 $u=f\left(x,y\right)$ 在积分区域 $S$ 上的二重积分, 记为

$$\begin{array}{}\text{(8.135b)}& {\int }_{S}f\left(x,y\right)\mathrm{d}S=\underset{\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }{S}_i\to 0\\ n\to \mathrm{\infty }\end{array}}{lim}\sum _{i=1}^{n}f\left(x_i,y_i\right)\mathrm{\Delta }{S}_i.\end{array}$$

2. 存在定理

若函数 $f\left(x,y\right)$ 在包含着边界的积分区域上连续,则二重积分 (8.135b) 存在. (连续是积分存在的充分非必要条件.)

3. 几何意义

二重积分的几何意义是以 $xOy$ 面内的区域为底,以母线平行于 $z$ 轴的柱面为侧面,且以 $u=f\left(x,y\right)$ 为有界上顶面的立体的体积 (图 8.31). 和式 (8.135b) 中的每一项 $P_i\left(x_i,y_i\right)\mathrm{\Delta }{S}_i$ 都对应着以 $\mathrm{\Delta }{S}_i$ 为底,以 $f\left(x_i,y_i\right)$ 为高的小柱体的体积. 体积符号的正负依曲面 $u=f\left(x,y\right)$ 在 $xOy$ 的上方或下方而定. 若曲面与 $xOy$ 面相交, 则所求体积为正负部分的代数和.

若函数值恒为 $1\left(f\left(x,y\right)\equiv 1\right)$ ,则该体积在数值上等于 $xOy$ 面内区域 $S$ 的面积.

8.4.1.2 二重积分的计算

可以把二重积分的计算化成累次积分的计算, 即相继计算两个积分.

1. 笛卡儿坐标系下的计算

若二重积分存在, 可以把积分区域划分成任何类型, 如小矩形. 在用坐标线把积分区域化成无限小的矩形后 (图 8.32(a)), 可先沿小矩形的每个垂直边再沿水平边计算所有微分 $f\left(x,y\right)\mathrm{d}S$ 的和. (内和为关于变量 $y$ 的积分近似和,外和为关于 $x$ 的积分近似和.) 若被积函数连续, 则该区域上的累次积分等于二重积分, 其解析记号为

$$\begin{array}{}\text{(8.136a)}& {\int }_{S}f\left(x,y\right)\mathrm{d}S={\int }_a^b\left[{\int }_{{\phi }_1\left(x\right)}^{{\phi }_2\left(x\right)}f\left(x,y\right)\mathrm{d}y\right]\mathrm{d}x={\int }_a^b{\int }_{{\phi }_1\left(x\right)}^{{\phi }_2\left(x\right)}f\left(x,y\right)\mathrm{d}y\mathrm{d}x,\end{array}$$

其中 $y={\phi }_2\left(x\right)$ 和 $y={\phi }_1\left(x\right)$ 分别为区域 $S$ 上、下边界曲线 ${\left(\stackrel{⏜}{AB}\right)}_{\text{上 }}$ 和 ${\left(\stackrel{⏜}{AB}\right)}_{\text{下 }}$ 的方程 $({\phi }_1\le {\phi }_2$ ,且 ${\phi }_1,{\phi }_2$ 连续), $a$ 和 $b$ 分别为曲线最左边和最右边点的横坐标. 笛卡儿坐标系下的面积微元

$$\begin{array}{}\text{(8.136b)}& \mathrm{d}S=\mathrm{d}x\mathrm{d}y.\end{array}$$

(小矩形的面积等于 $\mathrm{\Delta }x\mathrm{\Delta }y$ ,与 $x$ 的值无关.) 进行第一重积分时把 $x$ 看成常数, 根据记号, 内积分指的是内部的积分变量, 外积分指的是外部的积分变量, 所以 (8.136a) 中的方括号可以省略. 在 (8.136a) 中,微分号 $\mathrm{d}x$ 和 $\mathrm{d}y$ 位于被积函数的后面, 通常也可以将其放在相应积分号的右边, 被积函数的前面. 和也可逆向进行 (图 8.32(b)), 若被积函数连续, 其结果为以下二重积分:

$$\begin{array}{}\text{(8.136c)}& {\int }_{S}f\left(x,y\right)\mathrm{d}S={\int }_{\alpha }^{\beta }{\int }_{{\psi }_1\left(y\right)}^{{\psi }_2\left(y\right)}f\left(x,y\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y.\end{array}$$

• 计算 $A={\int }_{S}x{y}^2\mathrm{d}S$ ,其中 $S$ 是由抛物线 $y=x^2$ 和直线 $y=2x$ 围成的平面区域 (图 8.33).

$$A={\int }_0^2{\int }_{x^2}^{2x}x{y}^2\mathrm{d}y\mathrm{d}x={\int }_0^{2}x\mathrm{d}x{\left[\frac{y^3}{3}\right]}_{x^2}^{2x}=\frac{1}{3}{\int }_0^2\left(8x^4-x^7\right)\mathrm{d}x=\frac{32}{5}$$

或

$$A={\int }_0^4{\int }_{y/2}^{\sqrt{y}}x{y}^2\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\int }_0^2{y}^2\mathrm{d}y{\left[\frac{x^2}{2}\right]}_{y/2}^{\sqrt{y}}=\frac{1}{2}{\int }_0^4{y}^2\left(y-\frac{y^2}{4}\right)\mathrm{d}y=\frac{32}{5}.$$

2. 极坐标系下的计算

用坐标线把积分区域分成若干个小区域, 每个小区域均以从极点出发的两个同心圆和两条射线为边界 (图 8.34). 极坐标系下小区域的面积具有形式

$$\begin{array}{}\text{(8.137a)}& \mathrm{d}S=\rho \mathrm{d}\rho \mathrm{d}\phi \end{array}$$

(对于 $\mathrm{\Delta }\rho$ 和 $\mathrm{\Delta }\phi$ 相同的小区域,显然离原点越近面积越小,离原点越远面积越大.) 若被积函数的极坐标方程为 $w=f\left(\rho ,\phi \right)$ ,则可先沿小扇区再把所有扇区求和:

$$\begin{array}{}\text{(8.137b)}& {\int }_{S}f\left(\rho ,\phi \right)\mathrm{d}S={\int }_{{\phi }_1}^{{\phi }_2}{\int }_{{\rho }_1\left(\phi \right)}^{{\rho }_2\left(\phi \right)}f\left(\rho ,\phi \right)\rho \mathrm{d}\rho \mathrm{d}\phi ,\end{array}$$

其中 $\rho ={\rho }_1\left(\phi \right)$ 和 $\rho ={\rho }_2\left(\phi \right)$ 分别为平面区域 $S$ 的内外边界曲线 $\left(\stackrel{⏜}{AmB}\right)$ 和 (AnB)的方程, ${\phi }_1$ 和 ${\phi }_2$ 分别为区域中点的极角的下确界和上确界,很少先对极角再对极径积分.

• 计算特殊积分 $A={\int }_S\rho {\sin }^2\phi \mathrm{d}S,S$ 为半圆面 $\rho =3\cos \phi \left(0\le \phi \le \pi /2\right)$ (图 8.35):

$$A={\int }_0^{\pi /2}{\int }_0^{3\cos \phi }{\rho }^2{\sin }^2\phi \mathrm{d}\rho \mathrm{d}\phi ={\int }_0^{\pi /2}{\sin }^2\phi \mathrm{d}\phi {\left[\frac{{\rho }^3}{3}\right]}_0^{3\cos \phi }$$$$=9{\int }_0^{\pi /2}{\sin }^2\phi {\cos }^3\phi \mathrm{d}\phi =\frac{6}{5}.$$

3. 任意曲线坐标系 $u,v$ 下的计算

坐标定义如下:

$$\begin{array}{}\text{(8.138)}& x=x\left(u,v\right),y=y\left(u,v\right)\end{array}$$

(参见第 350 页 3.6.3.1). 若坐标线 $u=$ 常数和 $v=$ 常数把积分区域分成了一系列无穷小平面微元 (图 8.36),且被积函数可以表示成 $u,v$ 的函数,则可先沿小条形区域 (如沿 $v=$ 常数) 再把所有条形区域求和:

$$\begin{array}{}\text{(8.139)}& {\int }_{S}f\left(u,v\right)\mathrm{d}S={\int }_{u_1}^{u_2}{\int }_{v_1\left(u\right)}^{v_2\left(u\right)}f\left(u,v\right)\left|D\right|\mathrm{d}v\mathrm{d}u,\end{array}$$

其中 $v=v_1\left(u\right)$ 和 $v=v_2\left(u\right)$ 分别为平面区域 $S$ 的边界曲线 $\left(\stackrel{⏜}{AmB}\right)$ 和 $\left(\stackrel{⏜}{AnB}\right)$ 的方程, $u_1$ 和 $u_2$ 分别为区域中点 $u$ 的下确界和上确界. $\left|D\right|$ 表示雅可比行列式 (函数行列式) 的绝对值:

$$\begin{array}{}\text{(8.140a)}& D=\frac{D\left(x,y\right)}{D\left(u,v\right)}=\left|\begin{array}{ll}\frac{\partial x}{\partial u}& \frac{\partial x}{\partial v}\\ \frac{\partial y}{\partial u}& \frac{\partial y}{\partial v}\end{array}\right|\end{array}$$

在曲线坐标系下, 易得小区域的面积

$$\begin{array}{}\text{(8.140b)}& \mathrm{d}S=\left|D\right|\mathrm{d}v\mathrm{d}u.\end{array}$$

对极坐标 $x=\rho \cos \phi ,y=\rho \sin \phi ,\left(8.137\mathrm{b}\right)$ 属于 (8.139) 的特殊情况,其中函数行列式 $D=\rho$ .

所选择的曲线坐标系应该使 (8.139) 中的积分限尽可能简单, 而且被积函数不要太过复杂.

• 计算 $A={\int }_{S}f\left(x,y\right)\mathrm{d}S,S$ 为星形线的内部 (参见第 134 页 2.13.4),其中 $x=$ $a{\cos }^{3}t,y=a{\sin }^{3}t$ (图 8.37). 令 $x=u{\cos }^{3}v,y=u{\sin }^{3}v$ ,引入曲线坐标 $u,v$ , 坐标线 $u=c_1$ 表示一族与方程 $x=c_1{\cos }^{3}v,y=c_1{\sin }^{3}v$ 类似的星形线. 坐标线 $v=c_2$ 是方程为 $y=kx$ 的射线,其中 $k={\tan }^3{c}_2$ . 由此

$$D=\left|\begin{array}{cc}{\cos }^{3}v& -3u{\cos }^{2}v\sin v\\ {\sin }^{3}v& 3u{\sin }^{2}v\cos v\end{array}\right|=3u{\sin }^{2}v{\cos }^{2}v,$$$$A={\int }_0^a{\int }_0^{2\pi }f\left(x\left(u,v\right),y\left(u,v\right)\right)3u{\sin }^{2}v{\cos }^{2}v\mathrm{d}v\mathrm{d}u.$$

8.4.1.3 二重积分的应用

表 8.8 给出了笛卡儿坐标系和极坐标系下小区域的面积. 表 8.9 给出了二重积分的某些应用.

坐标	面积微元
笛卡儿坐标 $x,y$	$\mathrm{d}S=\mathrm{d}y\mathrm{d}x$
极坐标 $\rho ,\phi$	$\mathrm{d}S=\rho \mathrm{d}\rho \mathrm{d}\phi$
任意曲线坐标 $u,v$	$\mathrm{d}S=\left|D\right|\mathrm{d}u\mathrm{d}v$ ( $D$ 为雅可比行列式)