5.6.6 项代数、自由代数

设 ${\left({\mathrm{\Omega }}_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ 是一个型 (标志), $X$ 是簇的可数集. 用下列方式归纳地定义 $X$ 上的 $\mathrm{\Omega }$ 项的集合 $T_{\mathrm{\Omega }}\left(X\right)$ :

(1) $X\cup {\mathrm{\Omega }}_0\subseteq T_{\mathrm{\Omega }}\left(X\right)$ ;

(2) 如果 $t_1,\cdots ,t_n\in T_{\mathrm{\Omega }}\left(X\right)$ ,并且 $\omega \in {\mathrm{\Omega }}_n$ ,那么也有 $\omega t_1\cdots t_n\in T_{\mathrm{\Omega }}\left(X\right)$ .

这样定义的集合 $T_{\mathrm{\Omega }}\left(X\right)$ 是一个 $\mathrm{\Omega }$ 代数的基集,即 $X$ 上型为 $\mathrm{\Omega }$ 的项代数,并且具有下列运算: 如果 $t_1,\cdots ,t_n\in T_{\mathrm{\Omega }}\left(X\right)$ ,并且 $\omega \in {\mathrm{\Omega }}_n$ ,那么 ${\omega }^{T_{\mathrm{\Omega }}\left(X\right)}$ 定义为

$$\begin{array}{}\text{(5.282)}& {\omega }^{T_{\mathrm{\Omega }}\left(X\right)}\left(t_1,\cdots ,t_n\right)=\omega t_1\cdots t_n.\end{array}$$

项代数是所有 $\mathrm{\Omega }$ 代数的类中 “最一般” 的代数,即 “方程式” 在项代数中无效. 这些代数称为自由代数.

方程式是指一对变量 $x_1,\cdots ,x_n$ 的 $\mathrm{\Omega }$ 项 $\left(s\left(x_1,\cdots ,x_n\right),t\left(x_1,\cdots ,x_n\right)\right)$ . 如果对于所有 $a_1,\cdots ,a_n\in A$ 有

$$\begin{array}{}\text{(5.283)}& s^A\left(x_1,\cdots ,x_n\right)=t^A\left(x_1,\cdots ,x_n\right),\end{array}$$

那么称 $\mathrm{\Omega }$ 代数 $A$ 满足这样一个方程.

用方程式定义的 $\mathrm{\Omega }$ 代数的类是指由满足一组给定的方程式的 $\mathrm{\Omega }$ 代数所形成的类.

伯克霍夫定理 由方程式定义的类恰为簇.

例如, 分别由所有半群、群、阿贝尔群, 以及环组成的类都是簇. 但是, 例如, 循环群的直接积不是循环群, 域的直接积不是域. 因此循环群或域不形成簇, 并且不能由方程定义.