10.3.1 简单变分问题和极值曲线

简单变分问题(simple variational problem) 是确定以下述形式

$$\begin{array}{}\text{(10.11)}& I\left[y\right]={\int }_a^{b}F\left(x,y\left(x\right),y^{\prime }\left(x\right)\right)\mathrm{d}x\end{array}$$

给出的积分表达式的极值,其中 $y\left(x\right)$ 是一个二次连续可微函数,它满足边界条件 $y\left(a\right)=A,y\left(b\right)=B$ . 值 $a,b$ 和 $A,B$ 以及函数 $F$ 是给定的.

积分表达式 (10.11) 是所谓泛函(functional) 的一个例子. 一个泛函对某个函数类中的每个函数 $y\left(x\right)$ 分配以一个实数.

如果 (10.11) 中的泛函 $I\left[y\right]$ 对于一个函数 $y_0\left(x\right)$ 取得其极值,则对于满足边界条件的每个二次连续可微函数 $y$ 有

$$\begin{array}{}\text{(10.12)}& I\left[y_0\right]\ge I\left[y\right]\end{array}$$

曲线 $y=y_0\left(x\right)$ 被称为一条极值曲线(extremal curve). 有时,变分法的欧拉微分方程所有的解被称为极值曲线.