12.8.5 勒雷-绍德尔理论

设 $T$ 是全连续算子,基于映射度的性质,人们发现了方程 $x=T\left(x\right)$ 和 $(I+$ $T)\left(x\right)=y$ 解的存在性的进一步原理. 这个原理可以成功用于证明非线性边值问题解的存在性. 这里我们仅提及这一理论在实际问题中最有用的一些结果, 并且为简单起见, 选择了一种避免使用映射度概念的表述.

勒雷-绍德尔定理: 设 $D$ 是实巴拿赫空间 $X$ 的开有界集, $T:\overline{D}\to X$ 是一全连续算子. 设 $y\in D$ 使得对于每个 $x\in \partial D,\lambda \in \left[0,1\right]$ ,有 $x+\lambda T\left(x\right)\ne y$ ,其中 $\partial D$ 是 $D$ 的边界. 那么方程 $\left(I+T\right)\left(x\right)=y$ 至少有一个解.

这一定理的如下形式在应用中是非常有用的:

设 $T$ 是巴拿赫空间中的全连续算子. 如果方程族

$$\begin{array}{}\text{(12.204)}& x=\lambda T\left(x\right)\left(\lambda \in \left[0,1\right]\right)\end{array}$$

的所有解一致有界,即存在 $c>0$ 使得对于满足 (12.204) 的所有 $\lambda$ 和 $x$ ,有先验估计 $\parallel x\parallel \le c$ ,那么方程 $x=T\left(x\right)$ 有解.